双曲线经典例题讲解

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1、第一部分双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜

2、F1F2

3、）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜

4、F1F2

5、，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当

6、MF1

7、－

8、MF2

9、=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当

10、MF1

11、－

12、MF2

13、=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=

14、F1F2

15、时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞

16、F1F2

17、时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中

18、

19、=

20、2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y

21、轴上）.四．双曲线的简单几何性质　　－=1（a＞0，b＞0）⑴范围：

22、x

23、≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程8②若渐近线方程为双曲线可设为③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是六.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。第二部分典型例题分析题型1：运用双曲线的定义例1.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的

24、值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]，选C练习：设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若

25、PF1

26、：

27、PF2

28、=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．B．12C．D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形，故选B。8题型2求双曲线的标准方程例2已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．解：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.练习：1已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；解：设双曲线

29、方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或2.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A．B．C．（x>0）D．[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3与渐近线有关的问题例3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是8A．B．C．D．[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B练习：过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是解：设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.题型4弦中点问题——设而不求法例4.双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.B

30、.C.D.解:设弦的两端分别为.则有：.∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.练习：1.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.∵M（1，1）为弦AB的中点，∴故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：8其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交

31、，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.结论；不存在符合题设条件的直线.2.已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。解：设符合题意的直线存在，并设、则﹙1﹚得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）