双曲线优秀经典例题讲解

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1、双曲线典型例题例1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2(m)，=25×2(m).设双曲线的方程为（a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以解方程组由方程（2）得（负值舍去）.代入方程（

2、1）得化简得19b2+275b－18150=0（3）解方程（3）得b≈25(m).所以所求双曲线方程为：例2.中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以B()，．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()．变式训练3：已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点

3、P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为（2）解：设所以例3.设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。解：（1）由题，得，设则由…………①又在双曲线上，则…………②联立①、②，解得由题意，∴点

4、T的坐标为（2，0）…………3分（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得…………③…………1分由A2、Q、M三点共线，得…………④…………1分联立③、④，解得…………1分∵在双曲线上，∴∴轨迹E的方程为…………1分（3）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则由根与系数的关系，得……⑤……⑥…………2分∵∴有将⑤式平方除以⑥式，得…………1分由…………1分∵又故令∴，即∴而，∴∴变式训练1：)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），

5、动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.（1）求双曲线C的标准方程（2）当直线l的斜率为何值时，。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。解（1）设双曲线C的方程为①②②又P（6,6）在双曲线C上，由①、②解得所以双曲线C的方程为。（2）由双曲线C的方程可得所以△A1PA2的重点G（2,2）设直线l的方程为代入C的方程，整理得③③②整理得④②解得由③，可得⑤③②解得小结归纳由④、⑤，得[来源:学科网ZXXK]5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结

6、合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．