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1、第5章实验四Lagrange插值多项式实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。5.1Lagrange插值多项式Lagrange插值多项式的表达式：。其中被称为插值基函数，实际上是一个n次多项式。的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。5.2Lagrange插值多项式源代码
2、I%功能：对一组数据做Lagrange插值%调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)%x,y数组形式的数据表%xi:待计算y值的横坐标数组%yi用Lagrange插值算出的y值数组functionfi=Lagran_(x,f,xi)fi=zeros(size(xi));np1=length(f);fori=1:np1z=ones(size(xi));forj=1:np1ifi~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));endendfi=fi+z*f(i);endreturn例5.1已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，
3、1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标。解：4个数据点的Lagrange插值公式为：清单5.1clearx=[1.6,2.7,3.9,5.6];y=[3.3,1.22,5.61,2.94]；xi=[2.101,4.234];yi=Lagran_(x,y,xi);xx=1.5:0.05:6.5;yy=Lagran_(x,y,xx);plot(xx,yy,x,y,'o')其结果为：yi=1.05966.6457图5.1插值多项式曲
4、线图5.3Lagrange插值多项式源代码II%输入：x是插值节点横坐标向量；y是插值节点对应纵坐标向量。%输出：C是拉格朗日插值多项式的系数矩阵；L是插值基函数系数矩阵。function[C,L]=lagran(x,y)w=length(x);n=w-1;L=zeros(w,w);fork=1:n+1V=1;forj=1:n+1ifk~=jV=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));endendL(k,:)=V;endC=y*L程序中使用了命令poly和conv。poly命令创建一个向量，其项为以多项式的系数，该多项式具有
5、给定的根。conv命令生成一个向量，其项为多项式系数，该多项式是另外两个多项式的乘积。例如：找出两个一次多项式p(x)和q(x)的乘积，它们的根为3和5。>>p=poly(3)p=1-3>>q=poly(5)q=1-5>>conv(p,q)ans=1-815例5.2用Lagrange插值多项式源代码II，对4对数据（1.6，3.3），（2.7，4.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94），写出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标组xi=[2.101,4.234]时对应的纵坐标值。解：4个数据点的Lagrange插值公式
6、为：清单5.2clearx=[1.6,2.7,3.9,5.6];y=[3.3,1.22,5.61,2.94]；xi=[2.101,4.234];[C,L]=lagran(x,y);xx=1.5:0.05:6.5;yy=polyval(C,xx);plot(xx,yy,x,y,'o')数据清单见图5.2，插值曲线图见图5.3。图5.2输出插值多项式的系数、插值基函数系数矩阵及yy值图5.3插值多项式曲线图形例5.3将区间[-5,5]等分5份、10份，求函数的拉格朗日插值多项式，作出函数的原图像，观察龙格现象得出什么结果？解：清单5.3clear,c
7、lfx=-5:2:5;y=1./(1+x.^2);[C,L]=lagran(x,y);xx=-5:0.1:5;yy=polyval(C,xx);holdonplot(xx,yy,'b',x,y,'.')xp=-5:0.01:5;z=1./(1+xp.^2);plot(xp,z,'r')清单5.4clear,clfx=-5:1:5;y=1./(1+x.^2);[C,L]=lagran(x,y);xx=-5:0.1:5;yy=polyval(C,xx);holdonplot(xx,yy,'b',x,y,'.')xp=-5:0.01:5;z=1./(1
8、+xp.^2);plot(xp,z,'r')图5.45等份插值图形图5.510等份插值图形通过观察图形可以得出：（1）并不是插值节点越多
