多项式插值理论

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1、第六章多项式插值理论一、区间[a,b]上的一般插值理论(从有限维子空间出发的逼近方法)①对无限维函数空间的一个元素f(x)进行逼近，关于f(x)的情况仅知道一部分(1、若干点的函数值或导数值已知；2、满足一些控制方程)②选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间基函数性质:③选择中的元素，在一定的约束条件下，使良好的逼近,即令=关于在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。④良好逼近的判断e.g.Tchebycheff范数，

2、

3、f

4、

5、=称为一致逼近。⑤约束条件:（依据对的了解来确定）i/插值约束1(a

6、,b)且互不相同；ii/插值与光滑性混合约束(1)、1(a,b)且互不相同(2)、1(a,b)且互不相同(3)、的二阶导数存在iii/变分约束（以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数满足某些控制方程）依据

7、

8、f-

9、

10、在中为最小的条件，即确定常数使的解由下列形式的极小化问题得到：

11、

12、f-

13、

14、=min{

15、

16、f-

17、

18、：}Note：这里的

19、

20、·

21、

22、不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。iv/正交约束根据f-与n个给定

23、基函数的正交条件，确定常数：,1。即

24、x)使得,

25、

26、f-Pn

27、

28、<，

29、

30、·

31、

32、为切比雪夫型范数。Bernstein（伯恩斯坦）给出下列形式，可对任意连续函数f(x)进行一致逼近。；（等距离配点）Pn(x)f(x)感兴趣的问题：①若节点x0，x1,……,xn不断增多，Pn的阶次也随之增大，在保证，时，使逼近的光滑性变差，多项式出现“摆振”特性，从而使计算性质劣化，故一般不要选得阶次太高。②在不改变节点数n的情况下，可改变节点位置的配置，使得在一定范数条件下，获得对f(x)的最佳逼近。例如选择n个有规则的不等距配点，可使2、Lagrange插值定理在

33、n+1个不相等的实数上，取被规定值的n次多项式Pn(x)是存在且唯一的。意思是说，不论你用什么多项式形式或各种方法构造逼近函数，结果都是唯一的，都可化为统一的形式。这样，就有Lagrange插值的标准基函数（CanonicalBaseFunction）:li(x)1x5x6x4x1x2x3x0①第i个基函数在xi点取值为1，在xj(j≠i)的点取值为0，即②在区间[a,b]上为n次多项式。③Pn为基函数的线性组合，其系数为被插函数在型值点的函数值。（仅有典则基有此性质）。④称为n次多项式线性空间上的典则基。⑤

34、还有许多多项式基函数，如{1，x,…xn}（并不满足插值系数就是函数点值的性质）；再如：正交多项式基：Legender或Tchebycheff基等。正交多项式可类比Euchilid几何空间上的正交坐标轴，在那里几何上的正交性是自然的；在函数空间中的正交多项式是指在内积定义下的正交性，如带权正交基函数定义为：⑥计算时如何选择基，则依据对计算的方便和高精度少运算量的原则来决定；在插值时用典则基比较方便。注意：这里并不是分片插值基函数，而是全域上的；分片插值见下段。3、误差估计（包括这种误差估计式）4、分段拉氏插值

35、有上节所述，多项式在整个区间[a,b]上插值，随着节点的增多（n→∞,h→0）会使逼近函数的图形产生激烈的起落（也与型值有关）。这是不希望的，克服的办法采用分段插值，即:或常用的m=1分段线性插值：M=2分段二次插值：1Note:不保证节点导数的存在。5、有限元常用的在标准区间上的插值形式：l11-1在区间[xi+1，xi+2]上，作标准变换[-1，1]l2在标准区间[-1，1]上，作函数插值：函数的近似积分：三、Hermite（埃尔米特）插值1、区间[a,b]上满足插值与光滑性约束的插值约束条件：由拉氏插值

36、定理可以得到如下启迪：①能唯一构造一个三次多项式：②可以写成一种典则基形式：其中，x1=a,x2=b时，为区间[a,b]上的三次多项式，且（这里的i,j指的是区间的两端点）寻找方法：在节点（边界点）上的要求类似于，但要是三次多项式且还要满足前两个条件，故可选：易验证：于是选择常数a,b满足：(i=j)同理可得：留作作业。最终，唯一性证明略.2、拉格朗日分段线性插值在节点处改进为一阶导函数连续的Her