函数及其图象常见题型

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1、函数及其图象常见题型　　从近几年的高考试题来看，一次、二次函数图象的应用是高考的热点，重点考查数形结合与等价转化、分类讨论三种数学思想.幂函数重点考查幂指数为1，2，3，[12]，-1时的情形.下面，笔者以近几年的高考题为例归纳此部分内容的常见题型.　　图象的交点个数、范围问题　　例1函数[f（x）=2lnx]的图象与函数[g（x）=][x2-4x+5]的图象的交点个数为（）　　A.3B.2C.1D.0　　解析作出函数[f（x）=2lnx]的图象与函数[g（x）=][x2-4x+5]的图象，结合[f（2）=2ln2=ln4>1=][g（2）]，如图所示.　　答案B　　

2、例2设函数[f（x）=1x]，[g（x）=ax2+bx（a，b∈R，][a≠b）]，若[y=f（x）]的图象与[y=g（x）]的图象有且仅有两个不同的公共点[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，则下列判断正确的是（）　　A.当[a0]　　B.当[a0]，[y1+y2<0]　　C.当[a>0]时，[x1+x2<0]，[y1+y2<0]　　D.当[a>0]时，[x1+x2>0]，[y1+y2>0]　　解析若[y=f（x）]的图象与[y=g（x）]图象有且仅有两个不同的公共点，当[ay2]，故[x1+x2>0，y1+y20]时，有[x1+x2<0，y1+y2<0].　

3、　答案B　　解读解决图象交点问题时，首先是画出对应函数的图象（根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和对称性）.观察图象，结合零点的存在性定理和函数的单调性、对称性、函数值变化速度等具体特征分析交点的个数和范围.　　函数零点、方程根的问题　　例3已知函数[fx=2-x，x≤2，x-22，x>2，]函数[gx=b-f2-x]，其中[b∈R]，若函数[y=fx-gx]恰有4个零点，则[b]的取值范围是（）　　A.[74，+∞]B.[-∞，74]　　C.[0，74]D.[74，2]　　解析由[fx=2-x，x≤2，x-22，x>2]得，　　[f（2-x）=2-2-x，x≥0

4、，x2，x<0.]　　[则y=f（x）+f（2-x）=2-x+x2，x2.=x2+x+2，x2.]　　[y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b]，[y=fx-gx]恰有4个零点等价于方程[f（x）+f（2-x）-b=0]有4个不同的解，即函数[y=b]与函数[y=f（x）+f（2-x）]的图象的4个公共点，由图象可知，[74

5、运用分类讨论的思想方法确定分类标准画出函数[y=f（x）]图象；最后上下移动直线[y=k]，观察图象得到交点个数情况.　　函数最值问题　　例5已知函数[f（x）=x2-2（a+2）x+a2，][g（x）=][-x2+2（a-2）x-a2+8].设[H1（x）=max{f（x），g（x）}，][H2（x）=][min{f（x），][g（x）}][（max{p，q}]表示[p，q]中的较大值，[min{p，q}]表示[p，q]中的较小值）.记[H1（x）]的最小值为[A]，[H2（x）]的最大值为[B]，则[A-B=]（）　　A.16B.-16　　C.[a2-2a-16]

6、D.[a2+2a-16]　　[a-2][a+2]解析令[f（x）=g（x）]，即[x2-2（a+2）x+a2][=-x2+2（a-2）x][-a2+8]，解得[x=a+2，a-2]，[f（x），g（x）]的图象如图.由题意知，[H1（x）]的最小值为[f（a+2）]，[H2（x）]的最大值为[g（a-2）].　　答案B　　解读与一次函数、二次函数、幂函数有关的分段函数求最值的常用方法是画出分段函数的图象，观察图象的最高点和最低点，即函数取最大值和最小值之处；然后用代数法找到对应的最高、最低点的坐标.　　解不等式、不等式恒成立问题　　例6已知函数[f（x）=x2+4x，

7、x≥0，4x-x2，xf（a），]则实数[a]的取值范围为（）　　A.[（-∞，-1）?（2.+∞）]　　B.[（-1，2）]　　C.[（-2，1）]　　D.[（-∞，-2）?（1.+∞）]　　解析由函数图象知，[f（x）]为增函数，则[2-a2>a]，所以[a∈（-2，1）].　　答案C　　例7已知函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=12（x-a2+x-2a2-3a2）].若[?x∈R，f（x-1）][≤f（x）]，则实数[a]的取值范围为（）　　A.[[-16，16]]B.[[-66，66]]　　C.[[-13，