“点差法”在解析几何题中的应用

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1、“点差法”在解析几何题中的应用江苏省木渎高级中学（215101）潘振嵘在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1、求弦中点的轨迹方程例1、已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解：设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点

2、的轨迹方程为（在已知椭圆内）.2、求曲线方程例2、已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.解：由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，3解得，.设，则.又，（1），（2）得：，.所在直线方程为，即.3、确定参数的范围例3、若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.解：当时，显然满足.当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，，又，.中点在直线上，，于是.中点在抛物线区域内，即，解得.综上可知，

3、所求实数的取值范围是.4、处理存在性问题例4、已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解：假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，3，又，（1），（2）得：，的斜率又直线过三点，的方程为，即.但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.3