深圳大学_数理方程_复习

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1、数学物理方程与特殊函数（总结与复习）深圳大学电子科学与技术学院杜戈果参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件什么是数学物理方法如何建立数理方程求解定解问题特殊函数对实际问题（物理及一般问题），分析考察量的变化规律，建立相应的微分方程写出考察量所满足的相关条件根据微分方程和相关条件，求出考察量的解讨论解的适用条件精确描述线性增长阶段例子:人口增长问题(Malthus模型)什么是数学物理方法？用数学物理方法处理实际问题:第一步它是最重要的一步也是最困难的一步：数学物理方程的建立数学物理方法的核心：统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。

2、这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。建立数理方程的方法基本方程（泛定方程）的建立物理模型（现象、过程）数学形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部

3、，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。不含初始条件不含边界条件物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但极具启发性。一.均匀弦的横振动方程的建立平衡位置:弦被绷紧，内部有张力(设为T)，长度为L，水平安置(位于x轴)x00x初始状态:（例如）弦被拉成下列形状：LL微元法：弦振动方程任意t时刻弦的形状:0xu现在的问题：任意时刻t弦上任意点x离开其平衡位

4、置的位移u(x,t)？xuLX1、建立坐标系，选定微元2、微元s的动力学方程（牛顿第二运动定律）uosM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐标系，选定微元uo2、微元s的动力学方程（牛顿第二运动定律）M1sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：竖直方向：(忽略重力)弦s的质量:0xxu水平方向：竖直方向：3、忽略与近似对于微振动:T1＝T2，说明张力不随地点而变，它在整根弦中取同一数值。(弦振动方程)或者，是的变化量，可以用微分近似代替，即(一维波动方程)强迫振动方程注:齐次方程:只含有对u的各种运算非齐次方程：含有对u运算之外的项f(

5、x,t),被称为驱动项,或非零自由项x高温低温热流热流沿x方向传递,任意x处的温度为u,温度梯度为，q表示在单位时间内流经单位面积的热量，k是热传导系数，负号表示热流方向与温度梯度方向相反。单位面积q00u二、热传导的傅里叶定律:温度梯度：低温高温热流动：高温低温微元长度,横截积面,体密度:0xxQ1Q2在t时间内从x截面流入的热量在时间内从截面流出的热量比热定义体积元吸收的净热量表现为温度的升高均匀细杆：热传导方程其中,而热传导方程:能量守恒要求:三维热传导方程:有源热传导方程:梯度：散度：旋度：矢量运算基础：如果函数u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有连

6、续的一阶偏导数，则：微分算符：也称哈密尔顿算子，读“代尔（del）”拉普拉斯算符(子)：作用于函数u给出作用于函数E给出E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齐次:有源场)(齐次:无源场)电场强度与电位的关系定义为:电位方程u泛定方程定解条件定解问题数学物理方程：完整表述泛定方程只含一阶微商　，只有一个初始条件：泛定方程含二阶微商　，需要两个初始条件:泛定方程不含时间变量，不涉及初始条件（例如拉普拉斯方程）数理方程：初始条件第一类边界条件：直接给出考察量在边界S上的值：第二类边界条件：给出考察量的导数在边界上的值：第三类边界条件：给出考察量及其导数的线性组合：（均为已知函数

7、）数理方程：边界条件分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件数理方程：边界条件（自由端/绝热）（弹性支撑）一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问题”。例如弦振动的一个定解问题（两端固定，初始位移是任意的，初始速度为零）可以表示为数理方程：定解问题例：(0xL)(00)(t>0)几个名词简介:定解问题分为三类：基本方法：1.分离变量法2.行波法3.积分变换法拉普拉斯变换傅里叶变换定解问题的求解有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条