第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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1、课时作业一、选择题1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是(　　)A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D　[全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.]2．(2012·山东高考)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关

2、于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)A．p为真　　　　　　　　B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真C　[命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．]3．(2014·广州模拟)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)A．(綈p)∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．(綈p)∨(綈q)D　[不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假命题，綈q为真命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题．]4．(2014·邢台一模)若函数f(x)＝x2＋

3、(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数C　[对于A，只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，当a≤0时不成立；对于D，不存在a(a∈R)，使f(x)是奇函数，因此只有C是正确的，即当a＝0时，有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．]5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是(　　)A．

4、∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件D　[因为∀x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.]6．(2014·太原联考)已知命题p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m≤0，那么(　　)A．“綈p”是假命题B．“綈q”是真命题C．“p∧q”为真命题D．“p∨q”为真命题D　[对于命题p，x2＋1－2x＝(x－1

5、)2≥0，即对任意的x∈R，都有x2＋1≥2x，因此命题p是假命题．对于命题q，若mx2－mx－1＜0恒成立，则当m＝0时，mx2－mx－1＜0恒成立；当m≠0时，由mx2－mx－1＜0恒成立得，即－4＜m＜0.因此若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m≤0，故命题q是真命题．因此，“綈p”是真命题，“綈q”是假命题，“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，选D.]7．(2014·皖南八校联考)下列命题中，真命题是(　　)A．存在x∈R，sin2＋cos2＝B．任意x∈(0，π)，sinx＞co

6、sxC．任意x∈(0，＋∞)，ex＞1＋xD．存在x∈R，x2＋x＝－1C　[对于A选项：∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sinx＝，cosx＝，sinx＜cosx，故B为假命题；对于C选项：构造函数g(x)＝ex－1－x，g′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，则g(x)＞g(0)＝0，得ex＞1＋x在(0，＋∞)上恒成立，故C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝＋＞0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0

7、＝－1成立，故D为假命题．]8．(2014·石家庄模拟)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1A　[若命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.]9．(2014·东北四市调研)已知命

8、题p1：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0成立；p2：对任意x∈[1，2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是(　　)A．(綈p1)∧(綈p2)B．p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2D．p1∧p2C　[∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x2＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.∴对任意x∈[1，2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题，