2019高考数学 考点突破——集合与常用逻辑用语：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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1、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断pqp∧qp∨qp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存

2、在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若>，则x

3、．①④C．②③D．②④(2)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)A．p∧(q)B．(p)∧qC．p∧qD．(p)∨q[答案](1)C(2)A[解析](1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③q为真命题，则p∧(q)为真命题；④p为假命题，则(p)∨q为假命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0

4、∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(q)为真命题，故选A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.【对点训练】1.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(p)∧(q)；④(p)∨q.其中为假命题的序号为________．[答案]②③④[解析]显然命题p为真命题，p为假命题．∵

5、f(x)＝x2－x＝2－，∴函数f(x)在区间上单调递增．∴命题q为假命题，q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(p)∧(q)为假命题，(p)∨q为假命题．2.若命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是(　　)A．p∨(q)B．p∧qC．(p)∧qD．p∨q[答案]A[解析]命题p和命题q都是假命题，则命题p和命题q都是真命题，故选A.考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为(　　)A．∀n∈N，n2>2

6、nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n(2)下列命题中，为真命题的是(　　)A．∀x∈(0，＋∞)，x2>1B．∃x0∈(1，＋∞)，lgx0＝－x0C．∀a∈(0，＋∞)，a2>aD．∃a0∈(0，＋∞)，x2＋a0>1对x∈R恒成立[答案](1)C　(2)D[解析](1)命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴p：∀n∈N，n2≤2n.(2)对于A，当x＝1时不成立；对于B，当x∈(1，＋∞)时，lgx>0，而－x<0，不成立；对于C

7、，当a＝1时不成立；对于D，∃a0＝2∈(0，＋∞)，x2＋a0＝x2＋2>1对x∈R恒成立，正确．故选D.【类题通法】1.命题否定2步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．真假判断注意特例全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．【对点训练】1．命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题p为(　　)A．∃x0<0，x≥2x0

8、B．∃x0≥0，x<2x0C．∃x0<0，x<2x0D．∃x0≥0，x≥2x0[答案]C[解析]全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴p：∃x0<0，x<.2．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．4[答案]A[解析]∵＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x