集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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1、第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[主干知识梳理]一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“”．p∧qp且qp∨qp或q3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为，p∨q有一真为，p与非p必定是．綈p假真一真一假二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做全称命题．(3

2、)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“”．所有的任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)对任意x属于M，有p(x)成立2．存在量词与特称命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“”．存在一个至少有一个存在量词∃x0∈M，p(x0)存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，

3、綈p(x)[基础自测自评]1．(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．存在x0∈R，使得＜0B．对任意x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得≥0D．不存在x∈R，使得x2＜0A[根据含有一个量词的命题进行否定的分法直接写出，故“对链x∈R都有x2≥0”的否定是：存在∈R，使x<0，故选A.]2．下列命题中的假命题是()C3．(2014·呼和浩特一模)已知命题p：∀x∈R，x＞sinx，则p的否定形式为()A．綈p：∃x∈R，x＜sinxB．綈p：∀x∈R，x≤sinxC．綈p：∃x∈R，x≤sinxD

4、．綈p：∀x∈R，x＜sinxC[由全称命题的否定是特称(存在性)命题知选C.]4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________．答案所有的三角形都不是等边三角形[关键要点点拨]1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命

5、题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．含有逻辑联结词命题的真假判定①命题“p∧q”是真命题；②命题“綈p∨q”是真命题；③命题“綈p∨綈q”是假命题；④命题“p∧綈q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．②④C．③④D．①②③[规律方法]1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中

6、有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．[跟踪训练]1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析(1)“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．答案A(2)(2014·南昌联考)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q

7、：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[1，4]C．[e，4]D．(－∞，1]解析“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0，1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.答案C[典题导入]下列命题中的假命题是()A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列B．∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0C．∀x∈R，3x≠0D．∃x0∈R，lgx0＝0全称命题与特称命题的真假判断[听

8、课记录]对于A，an＋1－an＝a(n＋1)＋b－(an＋b)＝a，a是常数．A正确；对于B，∀x∈(－∞，0)，2x>3x，B不正确；对于C，易知3x≠0，因此C正确；对于D，注意到lg1＝0，因此D正确