常微分方程复习(授)

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1、微分方程复习1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．1、基本概念线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，

2、叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．1、基本概念(1)可分离变量的微分方程2、一阶微分方程的解法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．2、一阶微分方程的解法(4)一阶线性微分方程方程称为齐次的．方程称为非齐次的.齐次方程的通解为1、2、一阶微分方程的解法2、非齐次微分方程的通解为(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.2、一阶微分方程的解法

3、解法经过变量代换化为线性微分方程．例33、可降阶的高阶微分方程的解法解法型接连积分n次，得通解．3、可降阶的高阶微分方程的解法特点型解法代入原方程,得3、可降阶的高阶微分方程的解法3、可降阶的高阶微分方程的解法特点型解法3、可降阶的高阶微分方程的解法例6解代入方程，得故方程的通解为3、可降阶的高阶微分方程的解法（1）　二阶齐次方程解的结构:4.线性微分方程解的结构（2）二阶非齐次线性方程的解的结构例7解（１）　由题设可得：解此方程组，得（２）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程

4、二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为５、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法５、二阶常系数齐次线性方程解法６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二、典型例题例1解原方程可化为代入原方程得分离变量两边积分所求通解为二、典型例题例2解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为二、典型例题原方程的一个特解为故原方程的通解为二、典型例题由解得所以原方程满足

5、初始条件的特解为二、典型例题例3解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为二、典型例题由解得二、典型例题故原方程的通解为由即二、典型例题解例4则由牛顿第二定律得二、典型例题解此方程得代入上式得二、典型例题测验题测验题测验题测验题测验题测验题测验题测验题测验题答案测验题答案