初二上学期数学难题

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1、一、已知：如图AD为△ABC的角平分线，DE‖AC，交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F，求证：（1）FA=FD（2）2分之一（∠BAC+∠AFC）=90°—∠B(1)因为DE‖AC所以∠8=∠2，因为AD为△ABC的角平分线，所以∠1=∠2所以∠8=∠1；又因为EF是AD的垂线，所以∠EGD=∠EGA=90°；EG为公共边，所以△EGD≌△EGA；所以∠3=∠4，EA=ED，EF为公共边，所以△EFD≌△EFA；所以FA=FD(2)因为∠B=180°-∠BEF-∠BFE；∠BEF=∠3+∠7=∠3+∠1+∠2=90°-∠8+∠1+∠2；又

2、因为DE‖AC所以∠8=∠2，所以∠BEF=∠90°-∠1=90°+1/2∠BAC;由第(1)问已证出△EFD≌△EFA，所以∠BFE=1/2∠AFC；所以∠B=180°-∠BEF-∠BFE=180°-（90°+1/2∠BAC）-1/2∠AFC=90°-1/2∠BAC-1/2∠AFC所以1/2（∠BAC+∠AFC）=90°—∠B.二如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点

3、F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合），求证：BH·GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG，探究：FD+DG=______，请予证明。解：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D，∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF，∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴

4、△BFH∽△DGF，∴，即BH·GD=BF·DF，∴BH·GD=BF2；（2）BD，证明如下：∵AG∥CE，∴∠FAG=∠C，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，又∵AB=AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴FB=DG，∴FD+DG=BD。三.在三角形ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD的高设BD长为x，则CD长为（14-x），AD^2=13^2-x^2=169-x^2∵AD⊥BC∴△ABD、△ACD均为直角三角形∴AD^2+BD^2=AB^2①（勾股定理

5、）AD^2+CD^2=AC^2②（勾股定理）由①、②得：AD^2=AB^2-BD^2③AD^2=AC^2-CD^2④把④代入③得：AB^2-BD^2=AC^2-CD^2∴13^2-x^2=15^2-(14-x)^2169-x^2=225-196+28x-x^2169-225+196=28x28x=140X=5∴AD^2=169-5^2=169-25=144∴AD=12四如图所示，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长∵矩形沿直线AE折叠，定点D恰好落在BC边上的点F处∴⊿AED≌⊿A

6、FE,AF=AD直角⊿ABF,BF²=AF²-AB²=100-64=36∴BF=6∴CF=BC-CF=10-6=4设CE=a则DE=EF=8-a在RT△CEF中，EF²=FC²+EC²即：(8-a)²=16+a²即：4-a=1所以a=3即CE=3五以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股的数组（8，6，10）（15，8，17）（24，10，26）等。问：（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。（2）试用数学等式描述上述勾股数组规律。（3）请你证明你所发现的规律。答：(

7、1)(35,12,37)(2)通过观察我们发现勾股数组的每一组的第一个数，组成的数列，3，8，15，24,.....后一项与前一项的差所组成的新数列是首项为8-3=5公差为2的等差数列，所以勾股数组的第一个数可以写为n²+2n(n=1，2，3，.....)同样对于勾股数组的每一组的第二个数所组成的数列是首项为4公差为2的等差数列，这样勾股数列的第二个数就可以表示为2n+2.勾股数组的每一组的第三个数所组成的数列，5，10，17，26......后项与前一项之差所构成的新数列是首项为5公差为2的等差数列，所以有勾股数组的第三个数可以写为n^2+2n+

8、2所以勾股数组可以写为(n²+2n,2n+2,n²+2n+2)(3)证明；(n²+2n)²+(2n+2)²=n^4+4n^