第五章 均衡纯保费

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1、第五章均衡纯保费本文由一字街513贡献第五章均衡纯保费在第3章介绍了有关寿险趸缴纯保费的计算原理和方法。本章将介绍均衡纯保费(LevelNetPremium)的计算原理和方法。均衡纯缴费（也称分期纯保费）是指投保人根据保险合同的约定，按照年度、半年度、季度或月度缴费一次的方式，在约定期限内以被保险人生存为前提所缴纳的纯保费。均衡纯缴费制的产生原因是自然保费在各年间金额不同，且在一定年龄后随着年龄的增大而迅速增加，这可能导致保单所有人无力缴费而使保单失效。在均衡缴费制下，保单所有人前期缴纳的纯保费可能高于当期自然保

2、费，而后期缴纳的纯保费可能抵于当期自然保费，以次达到总体的平衡。我们在第4章中已经了解到，纯保费的分期缴纳是生存年金在寿险实务当中的两种表现形态之一。5.1均衡纯缴费的计算原理Z为保险人未来1单位给付现值随机变量；设Y为保险人未来每期收取1单位纯保费现值随机变量；P为保险人每期实际收取的均衡纯保费；0L为保险人在签发保单时（t=0时）的损失(Loss)现值随机变量。则有0L=ZPY显然，随机变量0L>0时为纯粹损失，0L<0时为纯粹收益，0L=0时为收付平衡。为了从保险给付和纯保费缴纳的角度体现保险合同双方当事人

3、之间的权利与义务的等价性，必须遵循平衡原理（EquivalencePrincipie），即要求保险人未来支出（保险给付）和未来收入（收取纯保费）达到平衡。应当指出，在某一确定险种下，保险人和单一被保险人之间的权利与义务的等价是不存在的，但保险人和所有被保险人之间的权利与义务的等价是存在的。因此，要求保险人的期望损失现值为零，即E[0L]=0，也就是说，在数学期望的意义下要求投保人缴纳的纯保费和保险人的成本是相等的。于是由E[0L]=E(Z)PE[Y]=0得到均衡纯保费的基本计算公式为P=E[Z]/E[Y]上式中的

4、E[Z]显然为1单位给付所对应的趸缴纯保费（或称保险人未来给付精算现值）E[Y]为由缴费方式决定的、每期缴纳1单位纯保费所形成的生存年金的精算现值。，根据的第3章所述，E[Z]的计算涉及两种数学模型：（1）（2）连续模型。对于寿险，给付发生在保险人死亡当时；对于年金保险，给付以被保险人生存为前提，以连续方式发生。离散模型。对于寿险，给付发生在被保险人死亡的期末；对于年金保险，给付发生在被保险人生存所至年初或年末。根据第4章所述，E[Y]的计算也涉及两种数学模型：（1）连续模型。单位纯保费按连续方式缴纳。（2）离散

5、模型。单位纯保费分期缴纳，但第一笔纯保费发生在签发保单时（因为首期保费是保险合同生效的前提）。如次看来，均衡纯保费的计算涉及四种数学模型，分别为：（1）全连续模型。纯保费连续缴纳，给付发生在被保险人死亡当时。对该模型的研究具有重要的理论意义。（2）半连续模型。纯保费分期缴纳，给付发生在被保险人死亡当时。该模型完全符合实务当中的做法，但需要在UDD假设下作离散化处理。（3）全离散模型。纯保费分期缴纳，给付发生在被保险人死亡期末。研究该模型的重要实务意义在于，可以在UDD假设下将半连续模型下的均衡纯保费转化为全离散模

6、型下的均衡纯保费来处理。（4）半离散模型。纯保费连续缴纳，给付发生在被保险死亡期末。对该模型研究的意义不大，本书不作介绍。本章先分别给出各模型下的均衡纯保费计算公式，最后在UDD假设下导出半连续模型和全离散模型的关系。需要指出的是，仅仅通过平衡原理研究均衡纯保费是不够的，还必须研究保险人损失0L的方差，以评估实际损失偏离收付平衡（即E[0L]=0）的程度。5.25.2.1全连续模型下的均衡纯保费终身缴费的终身寿险对于该险种，假设在x岁签发保单，每年按连续方式缴纳金额为P(Ax)的纯保费，死亡给付为1单位。根据平衡

7、原理，该险种下的均衡纯保费为P(Ax)=Axax其利用恒等式（4.1）的变形有两种：P(Ax)==1δaxδAx1Ax该险种的保险人的损失现值随机变量0L=ZP(Ax)Y=vTP(Ax)aT

8、则0L的方差为Var[0L]=Var[vTP(Ax)aT

9、]=Var[(1+=(1+=(1+其利用恒等式（4.1）的变形为2P(Ax)δ)vTP(Ax)δ]P(Ax)δP(Ax))2Var[vT])2[Ax(Ax)2]2δVar[0L]=5.2.2Ax(Ax)2=(δax)22Ax(Ax)2(1Ax)2限期缴费的终身寿险假设

10、在x岁签发保单，在年内每年以连续方式缴纳金额为的纯保费，死亡给付为1单位。根据平衡原理，该险种下的均衡纯保费为hP(Ax)=Axax:h

11、5.2.3定期寿险假设在x岁签发保单，在n年内每年以连续方式缴纳金额为P(Ax:n

12、)的纯保费，年内的1死亡给付为1单位。根据平衡原理，该险种下的均衡纯保费为P(A5.2.4两全保险1x:n

13、Ax:n

14、)=ax:n

15、1假设在x岁签发保单