高中新课程数学(新课标人教a版)选修2-1《3.1.3 空间向量的数量积》评估训练

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1、3.1.3　空间向量的数量积运算双基达标　(限时20分钟)1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)．A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推得

2、a

3、＝

4、b

5、，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．答案　B2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　

6、　)．A．2·B．2·C．2·D．2·解析　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．答案　C3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．A.B.C．－D．0解析　因为·＝·(－)＝·－·＝

7、

8、

9、

10、cos〈，〉－

11、

12、

13、

14、cos〈，〉，又因为〈，〉＝〈，〉＝，

15、

16、＝

17、

18、，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.答案　D4．已知a，b是空间两个向量，若

19、a

20、＝2，

21、b

22、＝2，

23、a－b

24、＝，则cos〈a，b〉＝________．解析　将

25、a－b

26、＝化为(a－b)2＝7，

27、求得a·b＝，再由a·b＝

28、a

29、

30、b

31、cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.答案　5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，

32、a

33、＝3，

34、b

35、＝1，

36、c

37、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案　－136．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：(1)·；(2)·解　如图所示，设＝a，＝b，

38、＝c，则

39、a

40、＝

41、c

42、＝2，

43、b

44、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝b·[(c－a)＋b]＝

45、b

46、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝(c－a＋b)·(a＋c)＝

47、c

48、2－

49、a

50、2＝22－22＝0.综合提高（限时25分钟）7．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)．A.B．2C.D.解析：∵＝＋＋∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴

51、

52、＝

53、.答案：D8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)．A．30°B．45°C．60°D．90°解析　∵·＝(＋＋)·＝·＋

54、

55、2＋·＝

56、

57、2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴a与b的夹角为60°.答案　C9．已知

58、a

59、＝3，

60、b

61、＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.

62、答案　－10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0，故填90°.答案　90°11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.证明　不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.·＝(－)·＝·－·，由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝

63、

64、·

65、

66、cos60°＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，

67、∴BD⊥平面ADC.12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．(1)证明　＝＋，＝＋.∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝

68、

69、·

70、

71、·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)解　结合(1)知·＝

72、

73、·

74、

75、·cos〈，〉＋2＝2－1.又

76、

77、＝)2＝＝

78、

79、.∴cos〈，〉＝＝，∴

80、

81、＝2，即侧棱长为2.