. 基本初等函数复习课典型例题与练习学案（苏教版 必修一）

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1、2．4基本初等函数【基础知识】一．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：一般式：y=ax2+bx+c；两根式：y=a（x－x1）（x－x2）；顶点式：y=a（x－x0）2+n.（2）当a＞0，f（x）在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x0=（p+q）.若－＜p，则f（p）=m，f（q）=M；若p≤－＜x0，则f（－）=m，f（q）=M；若x0≤－＜q，则f（p）=M，f（－）=m；若－≥q，则f（p）=M，f（q）=m.二．指数与指数函数1.指数（1）n次方根的定义若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的

2、奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n为奇数时，=a.②当n为偶数时，=

3、a

4、=（3）分数指数幂的意义①a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.②a==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（3）指数函数的性质①定义域：R.②值域：（0，＋∞）.③过点（0，1），即x=0时，y=1.④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R

5、上是减函数.三．对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①loga（MN）=logaM+logaN.　　　　　　　　　②loga=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=logax（a＞

6、0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.　　　　　　　　②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.四．幂函数1．幂函数定义及其图象：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.2．几种常见幂函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．幂函数性质．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点

7、，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．【提示】应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y=x+的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等.【课前训练】1．若直线y=2a与函数y=

8、ax－1

9、（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.2．函数y=（）的递增区间是________

10、___.【试题精析】【例1】对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.【评述】二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.【例2】设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；(Ⅱ)方程f(x)=0

11、在（0，1）内有两个实根.【例3】设函数f（x）＝

12、lgx

13、，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1．【评述】本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析解决问题的能力.【例4】若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？【例5】已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（）x