高考的数学一轮复习-基本初等函数知识点与典型例题

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1、基本初等函数【整体感知】：基本初等函数幂函数一次函数二次函数第1讲指数函数【基础梳理】1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做__a的n次方根_,其中n＞1且n∈N*.式子叫做__根式__,这里n叫做____根指数___，a叫做__被开方数____.（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正

2、数的正的n次方根用符号____表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=___a___.④当n为奇数时，=__a__;当n为偶数时，=________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：（n∈N*）；②零指数幂：a0=__1__（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；④正分数指数幂：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤负分数指数幂：==(a>0,m、n∈N*,且n>1).⑥

3、0的正分数指数幂等于__0____，0的负分数指数幂____没有意义______.（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质 y=ax(a＞0且a≠1)图象[来源:Z+xx+k.Com][来源:学&科&网][来源:学科网][来源:学#科#网][来源:Z&xx&k.Com]a＞1[来源:学科网ZXXK]0＜a＜1定义域R值 域(0,+∞)性质(1)过定点___(0,1)___

4、___(2)当x>0时,__y>1__;x<0时,__00时,___01____(3)在(-∞，+∞)上是_增函数_(3)在(-∞，+∞)上是_减函数___【要点解读】要点一指数运算【例1】【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留。【误区警示】一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序，否则容易发生运

5、算的错误。【答案】【变式训练】（3）已知，求的值。【标准解析】（2）原式=。（3）∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.要点二指数函数的概念与性质【例2】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围．【例3】设函数=为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断在其定义域上的单

6、调性.【标准解析】解决含指数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。【答案】(1)方法一依题意，函数的定义域为R，∵是奇函数，∴=-，2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知设且∈R，8分∴,∴在R上是增函数.【变式训练】设是定义在R上的函数.（1）可能是奇函数吗？（2）若是偶函数，试研究其单调性.【标

7、准解析】(1)方法一假设是奇函数,由于定义域为R,∴=-，,即整理得即即+1=0,显然无解.∴不可能是奇函数.方法二若是R上的奇函数，则f(0)=0,即∴不可能是奇函数.(2)因为是偶函数，所以=,即整理得又∵对任意x∈R都成立，∴有得a=±1.当a=1时，=,以下讨论其单调性，任取∈R且,当,为增函数,此时需要，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时，同理可得在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.【技巧点拨】解决含指数式的各种问题，关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率

8、比较高的知识。要点三指数函数的图像与应用【例4】若函数y=g(x)的图象与函数f(x)=(x－1)2(x≤1)的图象关于直线y=x对称,则g(x)的表达式是（）【命题立意】函数的图象经常和函数的性质联系在一起，把握函数图象之间的特点和联系。在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象。【标准解析】利用函数的图象关于直线y=x对称的实质是求函数的反函数【误区警示