高数(上)检测题——答案

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1、一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数，则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（2）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B)（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)

2、是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).（3）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A).（B）.(C).(D).[B]【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，

3、于是，，，可见有，应选(B).（4）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=,分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=,则，

4、，，且，，.由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).故应选(D).（5）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).　　　　　(D)　.　　[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（6）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C)　若，则.(D)　若，则.　　　　　　　　　[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条

5、件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得,整理得　.（因为），若，则.故选（Ｄ）..(7)曲线，渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.　[D]【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为，所以为垂直渐近线；又，所以y=0为水平渐近线；进一步，=，==，于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).（8）设函数，则的零点个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(B).【详解】．显然在区间上连续，且，由零点定理，知至少有一个零点．又，恒大于零，所以在上是单调递增的．又因为，根据其

6、单调性可知，至多有一个零点．故有且只有一个零点．故应选(B).二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（9）【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】（10）已知，且f(1)=0,则f(x)=.【分析】先求出的表达式，再积分即可。【详解】令，则，于是有，即积分得.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=.（11）=.【分析】型未定式，化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.【详解1】=,而，故原式=【详解2】因为，所以原式=（12）曲线的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行

7、计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线。（13）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】由，得x=1,可见切点为，于是所求的切线方程为，即.【评注】本题也可先设切点为，曲线y=lnx过