04第四讲 随机变量的数字特征

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1、第四讲随机变量的数字特征考纲要求1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.一、随机变量的数字特征问题1叙述随机变量的数学期望的定义、性质及随机变量函数的数学期望公式.答随机变量的数学期望是随机变量的平均值，它反映随机变量取值的中心位置.1.定义与公式⑴离散型随机变量的概率分布为,；⑵离散型随机变量的概率分布为，；⑶二维离散型随机变量的概率分布为，；⑷连续型随机变量的概率密度为,；⑸连续型随机变量的概率密度为,；⑹二维连续型随机变量的概率密度,.2性质⑴；⑵；⑶；⑷；⑸若与相互

2、独立，则；问题2叙述随机变量的方差的定义与性质.答随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度.1.定义随机变量的方差，标准差.2.性质⑴；26⑵；⑶；⑷若与相互独立，则；⑸.问题3叙述随机变量的矩的定义.答随机变量的阶原点矩，阶中心矩.显然，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩.问题4如何求随机变量的数字特征？答随机变量的数字特征是重点，也是常考点，读者务必在理解概念的基础上，熟练掌握计算数字特征的方法：⑴利用定义（6个公式）⑵用性质，计算时，要充分利用独立性条件.例1.设随机变量在上服从均匀分布，令随机变量则方差.【，提示：先求的分布，再利用公式】2.已知甲、乙两箱中

3、装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：⑴乙箱中次品数的数学期望；⑵从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【⑴⑵】3.设随机变量的概率密度为且已知，则，.【提示：，】4.设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.26解服从区间上均匀分布，概率密度设进货量为，则当时，利

4、润当时，利润故利润期望值令，解得5.已知随机变量的概率密度函数，则，.【1；】问题5叙述协方差、相关系数的定义与性质答1.协方差定义随机变量与的协方差.协方差具有如下性质：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.2.相关系数相关系数刻画两个随机变量与的线性相关程度.26定义随机变量与的相关系数.若，则称随机变量与不相关.相关系数具有如下性质：⑴；⑵，特别：若，则当时，，当时，.问题6设，证明下列命题等价：⑴与不相关；⑵；⑶；⑷.证由知，命题⑴和⑵等价；由知，命题⑵和⑶等价；由知，命题⑵和⑷等价；由等价关系的传递性知，这四个命题等价.问题7随机变量的独立性与相关性有何关系？答若与独立，则与一定不相关.证

5、明如下：与独立，即与一定不相关.若与不相关，则与不一定独立.例如二维随机变量服从单位圆上的均匀分布，则和不相关，且与不独立.注意若与的联合分布为二维正态分布，则与独立的充要条件是与不相关.例1.设随机变量与独立同分布，且的概率分布为，，26，，求与的协方差.【】2.设独立且都服从，求的期望与方差.【】3.对40个人的血液进行化验时，将每4个人并为一组化验一次，如果合格，则4个人只化验一次，若不合格，再对这组4个人逐个进行化验，共化验5次。若40个人中血液不合格率为，求化验次数的数学期望.【】4.设为独立同分布的随机变量，且都服从，记，求⑴；⑵与的协方差；⑶.【⑴⑵⑶】26