两个新的正整数分拆恒等式

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1、万方数据·28·长江大学学报(自然科学版)2008年3月第5卷第1砚理工JournalofYangtzeUniversity(NatSciEdit)Mar．2008．V01．5No．1：sci&Eng两个新的正整数分拆恒等式毕晓芳。燕子宗，赵天玉(长江大学信息与数学学院。湖北荆州434023)[摘要]正整数的分拆与许多计数问题有着密切的关系．并且关于正整数的分拆产生了许多重要的恒等武，但很多正整数的分拆恒等式常以有序分拆或无序分拆单方面讨论。将正整数的有序分拆和无序分拆联系起来．给出了两个新的与正整数的有序分拆和无序

2、分拆相关的恒等式，并利用组合方法给出了证明。[关键词]正整数，分拆恒等式I有序分拆I无序分拆；Ferrers图[中图分类号]0122．4[文献标识码]A[文章编号]1673—1409(2008JOl—N028—02分拆问题叫是组合论的重要内容之一，正整数的分拆与许多计数问题都有着密切的关系，其中正整数的分拆恒等式问题一直受到人们的普遍关注，产生了许多重要的结论，如Euler、Rogers—Ramanujan等人给出了一些著名的恒等式[2]，但很多恒等式都是针对有序分拆或无序分拆单方面来讨论的，很少涉及将有序和无序分拆

3、联系起来得到的恒等式。但是，在2003年Agarwal就发现了一个与有序分拆和无序分拆相关的恒等式[3]，在文献I-2-1中也提出了另外一些恒等式。笔者在此基础上提出了两个新的与正整数的有序分拆和无序分拆相关的恒等式，并利用组合方法给出了证明。1基本概念定义it23正整数n的一个“奇”无序分拆是指其分部量为互不相同的奇数的无序分拆。定义2t。3正整数n的一个“偶”无序分拆是指其分部量为互不相同的偶数的无序分拆。定义3正整数以的“奇一偶”无序分拆是指在n的分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现，且最小分部量是偶数的无序分

4、拆。2主要结论定理l设，l是奇数，m是满足2≤m<”的正整数，C(e，0，n)表示将正整数尢分拆成2部分之和的分拆数：第1部分是分部量为偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数；9(P，O，咒)表示将正整数凡分拆成2部分之和的分拆数：第1部分是恰含m一1个偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数。Q表示恰含2个以上分部量且最大分部量为7的“奇”无序分拆数；四表示恰含m个分部量且最大分部量为咒的“奇"无序分拆数。则：C“(P，O，咒)=研C(P，0，以)=0玎证明设，r是一个恰含m个分部量且最大分部量为，l的“奇”无序分拆，作出该

5、分拆的Ferrers图，如图1。在图中作轴线X轴和y轴，其中X轴在距离最后一行的一个单位处．y轴在距离第l列的一个单位处I然后从每一行的最后一个点处分别作y轴的平行线，从右往左分别记第i条平行线为Z，(f=1，2’．．·，仇)．y轴记为Z斛¨再确定这些平行线中每一条距前一条的距离(Y轴也考虑)，其中记z。到z斗。的距离为鳓(f一1，2’．．·，7，1)。由于7r是一个“奇”无序分拆，所以鳓(f一1，2，⋯，，，l—1)为偶数，越。为奇数，且Ul+U2+⋯口--。+“．=7。因此这些距离就使得正整数以分拆成2部分之和，

6、第l部分为m—1个偶数的有序分拆，即H。+Hz+●I⋯．．●●-⋯．．●●●：．-．●P一■m——_．●‘一”·‘。。_．xf册J21l[收稿日期】2007—12—23[基金项目】田家自然科学基金项目(70371032)。【作者简介】毕晓芳(Z982一)。女。2004年大学毕业。硕士生．现主要从事最优化理论与算法及组合数学方面的研究工作。万方数据第5卷第1期：理工毕晓芳等：两个新的正整数分拆恒等式·29·⋯+"一。；第2部分为一奇数U。，因为这种对应是一一的，故c，I(P，0，行)=0：：I。又由于C(e，0，71)

7、=>：c“(P，o，挖)，a一>：0：，故C(e，0，以)一q。所以定理1成立。2乏=：：=一2毒乏。如取n=9，m一3。将9分拆成2部分之和的分拆(第1部分是恰含2个偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数)有6个：2-4-6-I-1，6+2+1，4+4+1，2+4+3，4+2+3，2+2-I-5，即C3(P，0，9)一6。与之对应的恰含3个分部量且最大分部量为9的“奇”无序分拆有6个：9+7+1，9+3+1，9+5十1，9+7+3，9+5+3，9+7+5，即06=C3(P，0，0)=6。将9分拆成2部分之和的分拆(第1

8、部分是分部量为偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数)有15个：8+1，6+3，4+5，2+7，2+6+1，6+2+1，4+4+1，2+4+3，4+2+3，2+2+5，2-4-2-4-4+1，2+4+2+l，4+2+2+1，2+2+2+3，2+2+2+2-4-1，即C(e，0，9)=15。与之对应的恰含2个以上分部量且最大分部量为9的“奇”无序分拆