正整数分拆中的特殊恒等式

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1、万方数据第23卷第4期2009年12月山西师范大学学报(自然科学版)JournalofShanxiNormalUniversityNaturalScienceEditionV01．23No．4Dec．2009文章编号：1009-4490(2009)04-0015-04正整数分拆中的特殊恒等式庞荣波(聊城大学东昌学院，山东聊城252000)摘要：针对正整数有限制的无序分拆，首先给出“将n分拆成m个最大数是k的分拆数”所具备的两个相关恒等式，然后又给出“当n是k的倍数时，将n分拆成k的次方之和的分拆数”所具有的几个恒等式，并在运用模型分析和母函数对这些恒

2、等式进行分析证明的基础上，迸一步举例加以验证．关键词：整数；分拆数；母函数；分拆恒等式中图分类号：0175．1文献标识码：A0引言18世纪，欧拉提出了第一个正整数分拆的恒等式，自此正整数分拆引起了许多研究者的兴趣，成为组合数学、数论以及图论研究的重要课题，近年来数学工作者已取得了丰硕的研究成果，如无序分拆⋯、有序分拆心]、完备分拆【3】、奇偶分拆HJ以及分拆计数”，60等．首先给出正整数分拆的组合解释：正整数n的分拆相当于把n个无区别的球放到／'rt个无区别的盒子里，每个盒子内可以放多个球，也允许为空．本文主要针对下面两种情况进行了探讨：(1)拆分成

3、的分部数和分部量都有限制的无序分拆；(2)n是k的倍数时，分部量是k的次方的无序分拆．并在此基础上提出了一些新的关于正整数有限制的无序分拆的性质和定理，最后运用模型分析和母函数对这些恒等式进行分析证明．1主要结果1．1分部数和分部量都有限制的无序分拆定理1将n拆分成恰好含有m个部分，且最大分部量是k(其中k>[詈]，k·m≥n)的拆分数等于二将n拆分成不超过m个部分，且最大分部量为k+m一1的拆分数．证明从模型分析人手：将n个无区别的球放到m个无区别的盒子里，有一个盒子放k个球(不妨设是第一个盒子放k个球)，另外的m—1个盒子内每个盒子先放一个球，则

4、共用了k+m一1个球，然后将剩下的n—k一／'／'t+1个球随意放到另外的m—1个盒子内．这等同于将这n个球按照下面的方式放在m个无区别的盒子里：第一个盒子放k+m一1，然后将剩下的n—k—m+1个球随意放到另外的m一1个盒子内(允许出现空盒)．证毕．．例取n=15，k=7，m=4，将15拆分成4个数，且最大数是7的拆分形式是7+6+1+l7+5+2+17+4+3+17+4+2+27+3+3+2共5种．收稿日期：2009-07-25基金项目：国家自然科学基金(10871116)；山东省自然科学基金(Y2006A04)．作者简介：庞荣波(1969一)，

5、男，山东聊城人，聊城大学东昌学院讲师，现为曲埠师范大学2007级硕士研究生，主要从事组合数学、算法设计方面的研究。万方数据山西师范大学学报(自然科学版)2009年将n=15拆分成不超过m=4个数，且最大数是k+m一1=7+4—1=10的拆分形式是10+510+4+110+3+210+3+1+110+2+2+l也共有5种．定理1中要求k>[詈]，如果对于小于n的任意k又会有什么样的结论呢?为此我们给出下面定理：二定理2将／／,拆分成恰好含有m个部分，且最大分部量是七的拆分数等于将／I,拆分成不超过m个部分，其中有一个分部量为m+k一1，其他分部量不超过

6、k一1的拆分数．证明(1)将n拆分成恰好含有m个部分，且最大分部量是k的情形，可以通过下面的模型来实现：首先任意选择一个盒子放入k个球(不妨设选的是第一个盒子)，另外的m一1个盒子里都先放一个球，这样共用了m+k—1个球，然后将剩余的n—m—k+1个球再放到除第一个盒子外的m—1个盒子里，但每个盒子中最多再放k—1个球．(2)将n拆分成不超过m个部分，其中有一个分部量为m+．

7、}一l，其他分部量不超过k一1的情形，可以通过下面的模型来实现：先将／'／'t+k一1个球放人第一个盒子里，再将剩余的／1,一m—k+1个球放到另外的m一1个盒子里，允许出现空

8、盒，但每个盒子中最多放k～1个球．比较(1)、(2)两种模型，发现二者原理是一样的．证毕．例取n=10，m=6，k=3，将10拆分成6个数，且最大数为3的拆分形式是3+3+l+l+1+13+2+2+1+l+l共有两种．将10拆分成不超过6个数，且最大数为k+／'B一1=6+3—1=8，第二大数不超过k一1=2的拆分是8+2，8+1+1，也共有两种．1．2／'t是k的倍数。分部■是k的次方的无序分拆性质1将偶数n拆分成互不相同的2的次方之和的拆分形式是唯一的．证明将偶数n拆分成互不重复的2的次方之和的拆分数对应的母函数是C(x)=(1+菇2)(1+4)

9、(1+戈8)(1+X16)(1+戈32)⋯1一茗41一石81一X161一X321一—舛一1一x2l一戈4l一