strongart数学笔记：初等数学研究

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1、平面几何是可以替代的吗我们通常会有这样一种看法，一种理论之所以高级，就在于它能够蕴含一些低级的理论，也就是说，低级理论所能达到的地方，高级理论也一样能够达到，而且往往还要更多一些。但绝大多数情况都没有这样理想，这样的蕴含往往不是完全的，更加准确的称呼应该是局部的专题化。让我们以平面几何为例子来说明一下这个问题，很多高级的几何脱胎于平面几何，但正如人们一般不会注意在人类进化时灭绝了多少种猿猴一样，很少有人会注意在平面几何发展的同时，我们到底丢失了一些什么东西。单从字面上看，平面几何似乎应该被立体几何所包含，因为

2、前者只是后者在一个平面上的特殊情况。然而仔细一看，却可以发现立体几何所推广的内容只是平面几何的一部分，平面几何的基础内容（比如三角形全等与相似）在立体几何中并没有明显的对应，或许我们也可以把它们依葫芦画瓢的推广出来，但这样做似乎比较麻烦，而且缺乏朴素的直观（看三棱锥的全等与相似！），所以价值并不是太大。其实，立体几何所推广的只是简单的线面关系和几何体计算，前者在于建立一个空间的直观框架，后者更多是出于实际生产的需要，但这些都只是平面几何中最浅层的部分。可见，立体几何只是平面几何的局部推广而已，它们的关系并不是

3、完全包含的。解析几何的情形也是类似，其中引入了新的元素——坐标，也给平面几何奠定更严格的数量基础，但其主要研究内容还是由坐标确定的，也就是说它自己带来了自己的问题，并未对早先的平面几何有太多的帮助。尽管理论上说，用平面几何可以证明的定理都能用解析法证明，可实际上即使再加上平面三角与向量等高级工具，操作起来（特别是遇到角度有关的问题）也还是非常麻烦的，稍微复杂一点的问题还是只能用平面几何定理来推论。从这个意义上说，坐标的引入反倒是缩小了平面几何研究的深入程度，只是因为方便了曲线的表达，特别是得到了二次曲线的丰富

4、成果，所以才有其存在的价值，但更高级的代数曲线似乎就仅满足于判断一些点的重数与分支的维数。在这一点上，微分几何要更加典型一些，它完全排斥任何非光滑的情形，却又在看似平凡的光滑流形中挖掘出很多新的问题。这里的理论逻辑与其说是肉眼下包含，倒不如说是显微镜下的聚焦。由此可见，不论是单纯的研究领域的扩张还是新工具的引入，都没有能够完全代替原先的平面几何，平面几何是核心内容（基于三角形全等与相似的相关推论），直到现在还具有独立的意义。从这个角度上说，平面几何与其他高级的几何作为既成事实而言，就只存在着研究领域的不同，而

5、这些领域的高低起伏便自然标识出了一条几何学的可能轨迹。注：本文的思想是在读费耶阿本德的《反对方法》时产生的，当时他给出的例子是牛顿力学与亚里士多德的力学，但我觉得几何学的例子要更典型更具说服力。谈一加一为什么等于二最近发现有人用为什么1+1=2这样个问题来刁难我，还说什么看似简单实际复杂，但我觉得这样的说法完全就是故弄玄虚。记得上中学的时候，有篇高考满分作文就讲这个，大概意思是一个男人加一个女人可能得到三口之家，一群猪加另一群猪结果依然还是一群猪。其实，这些东西我们小学的时候都开玩笑似的讲过，无非是发挥了一些

6、比喻而已，难道是我们的老师欣赏这样的童真童趣吗？而我们的马哲老师居然把哥德巴赫猜想说成是证明1+1为什么等于2，还用辩证法解释说越简单的东西其实越是复杂，后来发现有这种认识的人还真是不少啊！很多人认为1+1=2很复杂无非是分不清比喻意义与数学意义，但还有一些人稍微高级一点，搬出集合论来谈这个问题，说罗素用了几百页纸来证明这个1+1=2，这就足以说明它不是一个简单的问题。然而，我对此是非常怀疑的，真要说到证明的话，我一直喜欢开玩笑般的给出下面两个“证明”：1）1+1=lg10+lg10=lg100=22）1+1

7、=cos0+cos0=2cos0cos0=2也许细心的读者能发现第一个证明是在合并lg10时有一个循环论证，感觉第二个证明也应该是个循环，只是说不清具体循环在什么地方。要是没有1+1=2，甚至连数学归纳法都不能使用，至少不能在自然数的基础上使用，所以这里我非常怀疑罗素的证明是不是也有个隐蔽的循环。就算是其中没有循环，这样的证明有多少价值，也是非常令人怀疑的。证明的功效就在于把复杂的命题分解成简单的命题，可1+1=2已经是非常简单了，再要回过头去分解成复杂的命题，又有什么意义呢？也许你会说这是对数学基础的公理化

8、归结，从实数到有理数，再从有理数到自然数，然后把自然数归结为集合。其实自然数就是集合论中的有限序数，现在的集合论教材中一般是这样来定义序数：0={￠}，1={0}，2=1∪{1}={0，1}，3=2∪{2}={0，1，2}，…这样的话若是再定义“+1”为后继序数的话，那么1+1=2就是一个简单的推论了，所以1+1=2与其说是公理，倒不如说是直接的定义。当然，你也许会说集合论中还有什么的悖论，所以需要