strongart数学笔记：数学建模与模型数学

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1、数学建模与模型数学所谓数学建模，就是用数学语言来对现实状态进行抽象简洁的刻画，提炼出与现实状态向契合的数学模型，以此来解释客观现象并预测未来发展。但为什么一定要用数学对非数学建模，难道就不能对数学本身建立模型，用高级的数学来统一刻画普通的数学吗？实际上。这样的做法在数学中确实存在，只是还缺少一个专门的名称，这里笔者（Strongart）就称其为模型数学。在模型数学这一名称出现之前，它的地位似乎很是尴尬，有时被看做是纯数学的一些边缘分支，有时则被当成是应用数学，甚至还被统称为数学逻辑学、数学哲学等等。事实上，模型数学相当于纯粹数学的形而上学，它与纯粹数学的关系就类似与纯粹数学与应用数学

2、的关系，也就是说纯粹数学在某种程度上可以视为模型数学的应用。这样我们就得到了模型数学-纯粹数学-应用数学这三大层次，其中应用数学是最贴近自然科学与工程技术的，纯粹数学是最为丰富可能也是最有乐趣的，而模型数学则是最为另类先锋的了。哪些数学分支属于模型数学呢？就目前而言，元数学（模型论、证明论等）、集合论、组合计数、范畴论等大致上都可以算是模型数学。其判定标准大概这样两条，主要就是逻辑方面的标准，抽象的层次越高越孤立，所使用的概念越缺乏原始的直观意义，就越可能被认为是模型数学。但是，我们还要补充一下文化方面的标准，越是在数学圈内被熟知流行，就越是不被视为模型数学。为什么要补充文化标准呢？

3、主要是有一些像点集拓扑之类的数学分支，尽管它非常符合逻辑标准，但同时也是很多高级数学的公共基础，数学家对此几乎是了如指掌，已经重建了它的直观意义，因此最多只能算是模型数学在纯数学中的应用。当然，对于更加专门精细的点集拓扑，特别是与带有集合论色彩的部分，视其为模型数学也未尝不可。此外，文化标准的引入也表明了模型数学与纯数学之间并没有太严格的界限，其边界是随着整个数学的发展而发展的。在纯粹数学甚至是应用数学的研究中，常常会找到一下相似的地方，通过公理化的方法把它们抽象成一般的模式，这就是模型数学的萌芽。假若这样的共同模式被普遍接受，其中发展出更加丰富的内容，并且与数学的其他分支产生交叉，

4、受到数学共同体的普遍认同，那么它便由先锋变成主流，融入到纯粹数学的范畴之中，比如整个抽象代数基本上都属于此类。可若是它主要不是推动纯数学的发展，而是发展出了一个相对独立的领域，对此只有个别专家才有兴趣进行研究，那就是变成了真正意义上的模型数学。但也可能出现的情况是，它只是在局部具有一定的启发性，基本上处在原地待机的状态，那么所得到的就可能是某种标志性的知识，比如说代数拓扑的中的E-S公理（可以对比点集拓扑中的若干公理）等等，我本人在两三年前提出的数学族纲领基本上也属于此类，它可以说是模型数学的方法在纯数学中的一种贡献。有人也许对模型数学的价值产生疑问，在纯粹数学中似乎很少一部分是受到

5、模型数学的影响，像非标准分析那样直接脱胎于模型数学的就更是凤毛麟角。但实际上，数学的应用本身就是一件困难的事情，纯粹数学对应用数学的影响大致也是如此，只有极少数事件可以建立严格的数学模型，也只有极少数数学模型可以求出精确解。对于模型数学，我们也得用艺术家的眼光来欣赏，对纯数学有用自然是好事情，实在没用的话只要看着顺眼也就足够了啊！本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后

6、只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。