strongart数学笔记：点集密度与流体数学

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1、点集密度与流体数学(2011-08-0312:31:48)转载标签：流体数学边界点点集密度测度论strongart教育分类：Strongart的数学探索欧式空间R^N内可测集A在a点的密度（density）可定义为den(A,a)=lim（r→0）m(A∩Br)/m（Br）（极限可能不存在，但可以继续考虑上（或下）极限，得到所谓上（或下）密度），其中Br是以a为中心，半径为r的球，m表示N维测度（一般是Lebesgue测度，但几何测度论中更愿意考虑Hausdorff测度）。这里的球形并不是本质的，有时换成方

2、体要更加容易计算。这个定义可以推广到测度维数与背景空间维数不同的情形，推广后的密度可以大于1，一个极端的例子就是平面内拓扑学家的正弦曲线，它在原点的一维密度可以达到无穷大。但下面我只讨论测度维数=空间维数的情形，并且充分聚焦于N=1。密度为1点被称为全密点，利用实分析中著名的Lebesgue定理，代入可测集的特征函数，我们可以得到一个非常有趣的结论：可测集几乎处处都是全密点。下面我们就来研究一下，这个全密点到底是怎么分布的，有什么理由使得一些点可以不是全密点。先从最简单的区间开始，考虑到闭区间[0,1]，对

3、区间的任何内点a∈(0,1)，其密度都是1，但在端点0或1，其密度就只有1/2.由此可见，全密点与内点是密切相关的，任何内点都是全密点，而边界点则因为其（充分小的）邻域总有一半在外面，密度通常只能是1/2，因此也就不是全密点。但我们考虑集(-1,0)∪(0,1)，这里在尽管0不是它的内点，但却同样是全密点。在高维情况，这样的可测集可以是连通的，比如平面内的圆盘挖去一个点或者一条短曲线，那么被挖掉的部分就是（二维)密度为1的边界点。这类边界点有个特征，就是位于原集合的“内部”，不妨称这种存在着一个邻域，使得这

4、个邻域除去其自身之外的点均为原可测集内点的边界点为内边界点或者是奇异边界点（这是我发明的定义，可能还不是标准术语）。显然，内边界点可以通过先取闭包来避免，那么全密点是不是就是闭包的内点呢？这里我们要考虑更复杂的情形，即所谓带正测度的广义Cantor集，它根本就没有内点与上述内边界点，但是由于测度为正，也就一定会有全密点。类似于上面边界点的讨论，这样的全密点不位于被挖区间的端点，因此好像不容易被发现。事实上，它是不能在有限步骤内追朔到的，而是位于与无穷相关的“内部”。由此可见，内点可以推广为内边界点，而内边界

5、点又可以进一步推广为全密点。记得我第一次接触密度概念时，就有一种根深蒂固的不协调感，后来发现密度的思想在数学的很多分支中都有体现。事实上，在调和分析中的极大函数，也就是一种在加权函数之后的密度（测度密度→积分密度）。数论也有关于密度的研究，像关于素数分布的Dirichlettheorem等等，但这里的密度是在集合计数意义上的，与这里测度意义上的密度有所差别。由此可见，密度这个概念在数学中有分歧的，但其（可能加权）取平均的思想是一致的。在物理学中有：质点力学→刚体力学→流体力学这样的发展线索，我觉得数学中也类

6、似可以有：点数学→刚体数学→流体数学这样的类比，它的基本概念分别是数、测度与密度。事实上，数的研究是个体性的，测度的研究是整体性的，而密度的研究则是把整体与个体有机结合起来，同时也可以视为一种局部化的思想。在物理学中，流体不像固体那样有明确的形状，只能采取一种平均化的观点来处理，因此密度这个概念反倒是更加重要。同样的道理，当我们不再愿意关注个别的数学对象，特别是要忽略一些不良情形（比如上面闭区间的端点），那就可以采取一种局部取平均的思想进行处理，这就是所谓密度在数学中的价值体现。尽管就目前的知识范围而言，（

7、Strongart所提出的）流体数学似乎还只是一个科幻传说，密度这个概念也不像现代物理学那样司空见惯，但至少读过本文的朋友可以先刷新一下自己的数学观。当我们看到一个点集的时候，不要光看其中的各个点是怎么样的，也要光想要把它拼起来算一下总的测度，还要考虑一下各个点在其附近所处的权重如何，这就是所谓流体数学的基本思想了。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买

8、书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。