2012届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案62不等式的证明（一）●知识梳理1均值定理：a+b≥2；ab≤（）2（a、b∈R+），当且仅当a=b时取等号2比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b3作商法：a＞0，b＞0，＞1a＞b特别提示1比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式2比商法要注意使用条，若＞1不能推出a＞b这里要注意a、b两数的符号●点击双基1若a、b是正数，则、、、这四个数的大小顺序是A≤≤≤B≤≤≤≤≤≤D≤≤≤解析：可设a=1

2、，b=2，则=，=，=，===答案：2设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，=中最大的一个是AaBbD不能确定解析：∵0＜x＜1，∴1+x＞2=＞∴只需比较1+x与的大小∵1+x－==－＜0，∴1+x＜答案：3（200年春季上海，1）若a、b、是常数，则“a＞0且b2－4a＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+＞0”的A充分不必要条B必要不充分条充要条必要条解析：当a＞0，b2－4a＜0时，ax2+bx+＞0反之，ax2+bx+＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b2－4a＜0反例：a=b=0，=2故选A答案：A4（理）已知

3、a+b

4、＜－（a、

5、b、∈R），给出下列不等式：①a＜－b－；②a＞－b+；③a＜b－；④

6、a

7、＜

8、b

9、－；⑤

10、a

11、＜－

12、b

13、－其中一定成立的不等式是____________（把成立的不等式的序号都填上）解析：∵

14、a+b

15、＜－，∴＜a+b＜－∴－b+＜a＜－b－故①②成立，③不成立∵

16、a+b

17、＜－，

18、a+b

19、≥

20、a

21、－

22、b

23、，∴

24、a

25、－

26、b

27、＜－∴

28、a

29、＜

30、b

31、－故④成立，⑤不成立答案：①②④（）若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+≥2其中一定成立的是__________解析：①a2

32、+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；③a+b－a3b2－a2b3=a3（a2－b2）+b3（b2－a2）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）∵（a－b）2≥0，a2+ab+b2≥0，但a+b符号不确定，∴a+b＞a3b2+a2b3不正确；④a∈R时，a+≥2不正确答案：①②船在流水中在甲地和乙地间回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________解析：设甲地至乙地的

33、距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==∵v1－v2=－v2=－＜0，∴v1＜v2答案：v1＜v2●典例剖析【例1】设a＞0，b＞0，求证：（）（）≥a+b剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明证法一：左边－右边＝－（＋）＝＝＝≥0∴原不等式成立证法二：左边＞0，右边＞0，＝＝≥＝1∴原不等式成立评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤变形的主要手段是通分、因式分解或配方在变形过程中，也可利用基本不等式放缩

34、，如证法二下面的例3则是公式法与配方法的综合应用【例2】已知a、b、x、∈R+且＞，x＞求证：＞剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合证法一：（作差比较法）∵－=，又＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0又x＞＞0，∴bx＞a∴＞0，即＞证法二：（分析法）∵x、、a、b∈R+，∴要证＞，只需证明x（+b）＞（x+a），即证xb＞a而由＞＞0，∴b＞a＞0又x＞＞0，知xb＞a显然成立故原不等式成立思考讨论该例若用函数的单调性应如何构造函数?解法一：令f（x）=，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而＞再令g（x）=，易证g（x）在（

35、0，+∞）上单调递减∵＞，a、b∈R+∴a＜b∴g（a）＞g（b），即＞，命题得证解法二：原不等式即为＞，为此构造函数f（x）=，x∈（0，+∞）易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而＞，∴＞，即＞【例3】某食品厂定期购买面粉已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条

36、?请说明理由解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6（x－1）+…+6×2+6×1］=9x（x+1）设平均每天所支付