2012届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案_0

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1、2012届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案6.2不等式的证明（一）　　●知识梳理　　1.均值定理：a+b≥2；　　ab≤（）2（a、b∈R+），　　当且仅当a=b时取等号.　　2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.　　3.作商法：a＞0，b＞0，＞1a＞b.　　特别提示　　1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.　　2.比商法要注意使用条件，若＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.　　●点击双基　　1.若a、b是正数，则、、、这四个数的大小顺序是　　A.≤≤≤B.≤

2、≤≤　　C.≤≤≤D.≤≤≤　　解析：可设a=1，b=2，则=，=，　　=，===.　　答案：C　　2.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是　　A.a　　B.b　　C.c　　D.不能确定　　解析：∵0＜x＜1，∴1+x＞2=＞.∴只需比较1+x与的大小.　　∵1+x－==－＜0，∴1+x＜.　　答案：C　　3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的　　A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件　　C.充要条件　　必要条件　　解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0.　　反

3、之，ax2+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b2－4ac＜0.　　反例：a=b=0，c=2.故选A.　　答案：A　　4.（理）已知

4、a+b

5、＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：　　①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④

6、a

7、＜

8、b

9、－c；⑤

10、a

11、＜－

12、b

13、－c.　　其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上）　　解析：∵

14、a+b

15、＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.　　∵

16、a+b

17、＜－c，

18、a+b

19、≥

20、a

21、－

22、b

23、，∴

24、a

25、－

26、b

27、＜－c.∴

28、a

29、＜

30、b

31、－c.　　故④成立，⑤不成立.　　答

32、案：①②④　　（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.　　解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；　　②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；　　③a5+b5－a3b2－a2b3=a3（a2－b2）+b3（b2－a2）　　=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.　　∵（a－b）2≥0，a2+ab+b2≥0，但a+b符号不确定，∴a5+b5＞a3b2+

33、a2b3不正确；　　④a∈R时，a+≥2不正确.　　答案：①②　　5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.　　解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，　　平均速度v1==.　　∵v1－v2=－v2=－＜0，∴v1＜v2.　　答案：v1＜v2　　●典例剖析　　【例1】设a＞0，b＞0，求证：（）（）≥a+b.　　剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.　　证法一：左边－右边＝－（＋）　　＝　　＝＝≥0.　

34、　∴原不等式成立.　　证法二：左边＞0，右边＞0，　　＝＝≥＝1.　　∴原不等式成立.　　评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.　　【例2】已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.　　求证：＞.　　剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.　　证法一：（作差比较法）　　∵－=，　　又＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.　　∴＞0，即＞.　　证法二：（分析法）　　∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞，　　只需

35、证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.　　而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，　　知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.　　思考讨论　　该例若用函数的单调性应如何构造函数?　　解法一：令f（x）=，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而＞.　　再令g（x）=，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减.　　∵＞，a、b∈R+.∴a＜b.　　∴g（a）＞g（b），即＞，命题得证.　　解法二：原不等式即为＞，　　为此构造函数