11.3角平分线的性质

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1、11.3角平分线的性质◆随堂检测1．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，则点D到BC的距离为________cm．2．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。3．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。4.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是()A、DE=DFB、AE=AFC、BD=CD

2、D、∠ADE=∠ADF5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点第5页Ｄ．三条角平分线的交点◆典例分析例：如图所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．解析：一般地，证明不在同一条直线上的线段的和差问题可以采用截长补短法BACED图1证一（截长法）：如图1所示，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠DCA＝90°，∴DE=DC又∵AD=A

3、D，∴△ADE≌△ACD（HL），∴　AE＝AC，CD＝DE，∵∠DCA＝90°，AC=BC∴∠B＝45°，在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB．∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．证法二（补短法）：ABCMD图2如图2所示，在AC的延长线上截取CM＝CD，连结DM．在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45°又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°∴∠M＝∠B＝45°　又∵AD平分∠CAB∴∠BAD=∠MAD，∵AD=AD∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋C

4、D＝AB◆课下作业●拓展提高1.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC=。2.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD第5页距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。3.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm,则△DEB的周长为()。A.9cmB.5cmC.6cmD.不能确定4．如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．●体验中考1.（2009年河南）如图，AB//CD

5、,CE平分∠ACD，若∠1=250，那么∠2的度数是.OBAP2．（2009年临沂市）如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．B．平分C．D．垂直平分参考答案：随堂检测：1、2.解析：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。2、15.解析：先根据比例求出CD=15，再根据角平分线性质得出答案。3、DE=DF=DG.解析：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。4、C.解析：根据角平分线性质和全等三角形的性质可得到A、B、D正确，因为点B、C位置不确定，故C不正确5、4.解析：过点O作AB的垂线MN分别与AB、CD交于点M、N，由角平分

6、线性质可得出第5页OM=OE=ON，所以本题答案为4。6、D.解析：根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展提高：1、130°.解析：利用角平分线分角成一半和三角形内角和定理或连接AO并延长，利用三角形的外角性质2、作∠AOD（或∠COB）、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF的交点；1；23、C.解析：由角平分线性质可得DE=DC，所以△DEB的周长=BD+DC+BE，又BD+DC=BC，BC=AC=AE，故△DEB的周长=AB=6cm,选C4、相等．证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）∠6=∠D在△EFB

7、和△BDE中，∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB∴AC+BD=AF+FB=AB证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F∠F=∠3第5页在△AEF和△AEB中，∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE在△BED和△FEC中，∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．体验中考1、5002、D.解析：根据角平分线性质和全等三角形的性质可得到A、B、C正确，还可证出O