《3.2 空间向量的应用-3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》导学案

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1、《3.2.1空间向量的应用》导学案2教学过程一、问题情境在《立体几何初步》一章中，我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系？二、数学建构设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2.问题1　展示模型讨论归纳l1∥l2，l1⊥l2如何用e1，e2表示？解　l1∥l2⇔e1∥e2，l1⊥l2⇔e1⊥e2.问题2　展示直线与平面平行、垂直，观察、讨论l1∥α1，l1⊥α1如何用e1，n1表示？解　l1∥α1⇔e1⊥n1，l1⊥α1⇔e1∥n1.

2、问题3　展示两个平面平行、垂直，观察、讨论、归纳α1∥α2，α1⊥α2如何用n1，n2表示？解　α1∥α2⇔n1∥n2，α1⊥α2⇔n1⊥n2.设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表:平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2三、数学运用例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.变式：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.APDCBMN小结：求点

3、到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例2如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且.已知，求公垂线的长.变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中,，且,是的中点,求异面直线与的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.