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《2012年高考第一轮复习数学：14.2 导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、14.2导数的应用●知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减函数.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数f（x）的定义区间.②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的
2、极值（1）极值的概念设函数f（x）在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的步骤.①求导数f′（x）.②求方程f′（x）=0的根.③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在
3、（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.①求y=f（x）在（a,b）内的极值.②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=
4、x
5、在点x
6、=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞,+∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.●点击双基1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）解析：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx－sinx=x
7、cosx,当x∈（,）时,恒有xcosx＞0.答案：C2.函数y=1+3x－x3有A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值3解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时,y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3.答案：D3.设f（x）在（a,b）内有定义，x0∈（
8、a,b），当x＜x0时，f′（x）＞0;当x＞x0时，f′（x）＜0.则x0是A.间断点B.极小值点C.极大值点D.不一定是极值点解析:f（x）在x0处不一定连续.答案:D4.函数f（x）=ｅx＋ｅ－x在（０，＋∞）上的单调性是__________.解析:∵f′（x）=ex－e－x=e－x（e2x－1）,∴当x∈（0,+∞）时，f′（x）＞0.∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.答案:增函数5.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是___________________________________.解析:f′（x）=3x2+2x+m.
9、∵f（x）在R上是单调递增函数,∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.答案:m＞●典例剖析【例1】求函数y=的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由求得x≥－2.求导得y′=－=.由y′＞0得2＞,即解得x＞－2,即函数y=－在（－2,+∞）上是增函数.又此函数在x=－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f（－2）=－1.∴函
