平行线分线段成比例定理

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1、平行线分线段成比例定理（1）定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例。（2）定理的基本图形：　　　　A　　A′　　B　　　　B′　　C　　　　C′（3）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。（4）推论的基本图形：“日”型“A”型“X”型“A”型二、例题：例1、如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长。解：∵l1∥l2∥l3∴（平行线分线段成比例定理）∵AB=3，BC=5∴AC=AB+BC=8∵DF=12∴∴DE=4.5∴EF=DF－DE=7.5例2

2、、如图，D为AB中点，E为AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于F。求证：分析：原题中没有平行线，因些需作平行线，利用平行线分线段成比例定理来构成比例线段。证明：过点C作CG∥DF，交AB于G∵CG∥DF∴（平行线分线段成比例定理）∵AD=BD∴20练习：专题训练（1）1．如图，已知：△ABC中，DE//BC，分别交BA、CA的延长线于点D、E，F是BC的中点，FA的延长线交DE于点G。求证：DG=EG。2．已知：D是△ABC的边AB的中点，点E在BC边上，且BE：EC=1：3，ED的延长线与CA的延长线交于F。求证：。3．如

3、图，已知：梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，点F在DE上，且。求证：OF//BC。4．如图，已知：E为ABCD的边BC延长线上一点，AE交BD于G，交DC于F。求证：。5．如图，已知：D是△ABC的边BC上一点，过D点的直线交AC于Q，交AB延长线于P，AE//BC，交PQ于E，PD：PE=DQ：QE。求证：（1）D是BC的中点；（2）QA·PB=PA·QC。6．如图，已知：AB//CD，AC、BD交于点O，OE//AB交BC于点E。求证：。2020专题训练（1）练习参考答案：1、证明：∵D

4、E∥BC，∴∴∵F为BC中点，∴DG=EG。2、证明：过点A作AG∥BC交DF于G，∴∠3=∠4，D为AB中点，∠1=∠2，∴AD=DB∴△ADG≌△BDE∴AG=BE，∵BE：EC=1：3∴AG：EC=1：3，∴AF：FC=1：3，∴AF：AC=1：23、证明：∵AD∥BC∴又∵∴∴DF∥BC4、证明：平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∴AB∥DC∴∴∴5、证明：（1）∵AE∥BC，∴又∴∴∴DC=BD∴D为BC中点(2)∵BC∥AE，∴∴QA·PB=PA·QC6、∵OE∥AB，∴∵OE∥DC∴20∴两边除以OE得　　　　

5、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7．已知：如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且。求的值。（本题6分）　　　　　7、解：∵c为AB黄金分割点∴，又AB=2，∴从而∴∴（点e还是AD黄金分割点）20专题训练（2）例1、如图，F是□ABCD的边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E。求证：证明：∵□ABCD∴CD∥AB，AD∥BC∴（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）同理可得∴说明：本题是证明等积式的典型题。要证明，经常要把它转化为

6、两个等式：和。我们通常把叫做中间比。而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式。例2、如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点，。连结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。分析：证明两条线段互相平分，最好的方法就是证明这两条线段是一个平行四边形的对角线。因此可以连结EF、DF，然后证四边形DCEF是平行四边形。证明：连结EF、DF∵∴EF∥BC（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。）同理DF∥AC∴四边形DCEF是平行

7、四边形∴DE和CF互相平分说明：证两直线平行，通常都是通过证角的关系来得到，现在我们又有了新的方法——证对应线段成比例。例3、如图，在△ABC中，E为中线AD上的一点，。连结BE，延长BE交AC于点F。求证AF=CF。证明：作DH∥AC，交BF于点H∴20（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）∵D是BC的中点∴=∵同理可得∴∴AF=CF说明：在证线段成比例这一类问题中，平行线是常见的辅助线。例1、已知：如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连结AD，BC交于E，EF⊥BD于

8、F。求证：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD∴AB∥EF∥CD∴（平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。）∴∴说明：证明通常是把它转化为证。二、练习题：1、将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE=AC，A