数列与数学归纳法

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时间:2018-08-07

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1、学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com2010届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1,△Q1P2Q2,…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.(1)求的值;(2)求数列{}的通项公式。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2.设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,都有成等差数列,成等比数列.(1)试问是否成等差数列?为什么?(2)如果,求数列的前项和.3.已知等差数列{}中

2、,=8,=66.(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)设,,求证:.4.已知数列{}中,(n≥2,),数列,满足()24学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com  (1)求证数列{}是等差数列;  (2)求数列{}中的最大项与最小项,并说明理由;  (3)记…,求.5.已知数列{an}中,a1>0,且an+1=,(Ⅰ)试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立;(Ⅲ)若a1=2,设bn=

3、an+1-an

4、(n=1,

5、2,3,…),并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证:Sn<.6.(1)已知:,求证;(2)已知:,求证:。7.已知数列各项均不为0,其前n项和为,且对任意,都有(p为大于1的常数),并记.(1)求;(2)比较与的大小;24学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com(3)求证:().8.已知,各项为正的等差数列满足,又数列的前项和是。(1)求数列的通项公式;(2)求证数列是等比数列;(3)设,试问数列有没有最大项?如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。9.设数列前项和为

6、,且(3,其中m为常数,m(1)求证:是等比数列;若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.10.已知数列满足:且,.(Ⅰ)求,,,的值及数列的通项公式;24学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com(Ⅱ)设,求数列的前项和;11.将等差数列所有项依次排列,并作如下分组:…第一组1项,第二组2项,第三组4项,…,第n组项。记为第n组中各项的和。已知。(1)求数列的通项;(2)求的通项公式;(3)设的前n项的和为,求。12.设各项为正数的等比数列的首项,前n项和为,且

7、。(Ⅰ)求的通项;(Ⅱ)求的前n项和。13.设数列是首项为0的递增数列,(),满足:对于任意的总有两个不同的根。(1)试写出,并求出;24学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com(2)求,并求出的通项公式;(3)设,求。14.已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(Ⅲ)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题(

8、(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?(所得的结论不必证明)15.一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到,记为;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍.(1)当从A口分别输入自然数2,3,4时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论;(2)记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.16.已知数列,其前n项和Sn满足是大于0的常数),且a1=1,a3=4.(1)求的值

9、;(2)求数列的通项公式an;(3)设数列的前n项和为Tn,试比较与Sn的大小.24学而思教育·学习改变命运思考成就未来!高考网www.gaokao.com17.定义:若数列满足,则称数列为“平方递推数列”.已知数列中,,且,其中为正整数.(1)设,证明:数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列;(2)设(1)中“平方递推数列”的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式;(3)记,求数列的前项之和,并求使的的最小值.18.在不等边△ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知,,依次成等差数列,给定

10、数列,,.  (1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号:  数列,,( ).  A.是等比数列而不是等差数列  B.是等差数列而不是等比数列  C.既是等比数列也是等差数列  D.既非等比数列也非等差数列  (2)证明你的判断.19.已知是等差数列,其前n项和为Sn,已知a2=8,S10=185,(1)求数列的通项公式;(2)设,证明是等比数列,并求其前n项和Tn.20.已

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