数列与数学归纳法

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1、专题39数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法,其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等.本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围:关于正整数的命题(例如数列,不等式,整除问题等),则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法:通过假设成立,再结合其它条件去证成立即可.证明的步骤如下:(1)归纳验证:验证(是满足条件的最小整数)时,命题成立(2)归纳假设:假设成立,证明当时,命题也成立(3)归纳结论:得到结论:时,命题均成立3、第一归

2、纳法要注意的地方:(1)数学归纳法所证命题不一定从开始成立,可从任意一个正整数开始,此时归纳验证从开始(2)归纳假设中,要注意,保证递推的连续性(3)归纳假设中的,命题成立,是证明命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找与的联系4、第二数学归纳法:在第一数学归纳法中有一个细节,就是在假设命题成立时,可用的条件只有,而不能默认其它的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充,将归纳假设扩充为假设,命题均成立,然后证明命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多,证明的步骤如下:(1)归纳验证:验证(是满足条件的最小整数)时

3、,命题成立(2)归纳假设:假设成立,证明当时,命题也成立(3)归纳结论:得到结论:时,命题均成立.5.注意点:对于归纳猜想证明类问题,有三个易错点.一是归纳结论不正确;二是应用数学归纳法,确认n的初始值n0不准确;三是在第二步证明中,忽视应用归纳假设.【经典例题】例1.【2018届重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列的前项和,,记数列的前项和为,则的最小值为______.【答案】【解析】分析:由题意首先求得,然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解:由题意结合,以下用数学归纳法进行证明:当时,结论是成立的,假设当时

4、,数列的通项公式为:,则,由题意可知:,结合假设有:,解得:,综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知:,,利用等差数列前n项和公式可得:,则,结合对勾函数的性质可知,当或时,取得最小值,当时,当时,由于,据此可知的最小值为.点睛:本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.例2.设Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn=2an-2(n∈N

5、*)(1)求的值,并由此猜想数列{an}的通项公式an;(2)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想.【答案】(1);(2)见解析.当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×a4-2,∴a4=16.由此猜想:(n∈N*).(2)证明:①当n=1时,a1=2,猜想成立.②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,猜想成立,即,那么n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2ak+1-2ak∴ak+1=2ak,这表明n=k+1时,猜想成立,由①②知猜想成立.点睛:数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写

6、明莫忘掉.例3.已知数列满足:,.(Ⅰ)试求数列,,的值;(Ⅱ)请猜想的通项公式,并运用数学归纳法证明之.【答案】(Ⅰ),,.(Ⅱ),证明见解析.由此猜想.下面用数学归纳法证明之:当时,,结论成立;假设时,结论成立,即有,则对于时,∴当时,结论成立.综上,可得对,成立点睛:运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题:1、第一步:归纳奠基(即验证时成立);第二步:归纳递推(即假设时成立,验证时成立);3、两个条件缺一不可,在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论,最后得到的形式应与前面的完全一致.例4.【2018届浙

7、江省温州市高三9月一模】已知数列中,,(). (1)求证:;(2)求证:是等差数列;(3)设,记数列的前项和为,求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)利用数学归纳法可证明;(2)化简,由可得是等差数列;(3)由(2)可得,从而可得,先证明,利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.(2)由,得,所以,即,即,所以,数列是等差数列.(3)由(2)知,,∴,因此,当时,,即时,,所以时,,显然,只需证明,即可.当时,.例5.已知函数(1)若函数在处切线斜率为,,已知,求证:(

8、2)在(1)的条件下,求证:【答案】见解析下面用数学归纳法证明:当时,成立假设成立,则时时,不等式成立(2)由(1)可知例6.【浙江省绍兴市2018届5月调测】已知数列中.(1)证明:;(2)设数列的前项和为,证明:.【答案】(1)见解析;(2)见解析详解:(1)数学归纳法:①当时,,,显然有.②假设当

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