探究构造法在高中数学解题中的巧妙应用

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1、探究构造法在高中数学解题中的巧妙应用江苏省常熟市尚湖高级中学程建刚摘要：随着新课程改革的不断深入，高中数学教学模式的创新发展也逐渐提上日程，传统的灌输式教学模式已经不能适应时代的发展，高中数学的抽象性、复杂性和高难度性不仅对学生更方面能力提出更高的要求，掌握多种数学解题方法也非常重要。构造法是高中数学的一种常见解题方法，对提高学生解题效率有很大帮助，本文就学生解答高中数学中构造法的相关应用进行探讨。关键词：高中数学；解题教学；构造法高中数学是高中阶段的主要课程之一，相比小学以及中学阶段的数学课程，高中数学的难度随着学生年龄的增长

2、也不断增加，而且数学又是高考的重要考试科目，对学生的高考成绩有着重要影响，所以学好数学、掌握数学的解题方法、提高考试成绩是高中学生普遍面临的问题。解答数学问题需要学生有一定的思考能力、想象能力、分析能力以及运算能力，构造法是指在原来数学题目的基础上，通过对题目中各个条件以及结论的一系列假设，并结合所学的各种数学理论、公式构造出满足原题目中相关条件和结论的数学模型。本研究以等差数列教学为例探究构造法在高中数学解题教学中的巧妙应用。在高中数学题目中，方程式往往以与函数或者其它数学内容相结合的形式出现，很大程度上增加了题目的复杂性，提

3、高了解题难度。在解答此类型题目时可以结合构造法思想，根据题目中的数量关系以及结构特征构造一个等量式，对题目中的方程式等量、未知量相关性进行分析，使数学题目更为具体化、直观化以及简单化，进而让学生迅速计算出正确答案。例1：题目“解：如果采用一般解题方法会复杂很多，而如果采用构造法将题目中的条件与结论联系起来就变得简单很多，结合题目构建方程式：，那么所构建方程式中的实数根相等，进而得出，所构建方程式的两个实数根均等于1。然后结合韦达定理得出，由此可以证明题目中为等差数列。这种类型的题目对于很多学生来讲是有一定难度的，但如果可以结合特

4、殊方法就可以将难题简单化，并快速得到正确答案。等差数列是高中数学的一个主要学习与教学内容，一方面等差数列本身能够自称题目，另一方面也可通过数列解决非数列问题，该方法就是构造法，通过联想的方式，连接题设条件与结论，对问题解决的辅助数列进行恰当构造，同时利用该数列的性质来解决相关数学问题。解题过程包含多次思维转化过程，在用从条件至结论的定向性直接思维解题过程中遇到困难，若我们分析问题所提供的相关信息直销其本质结构和数列存在相关性，就可考虑应用构造法加以解决。例2求方程组的实数解。分析：如果通过解方程方法对该问题进行按部就班的解决往往

5、比较麻烦，所以本研究选择构造法的方法求解该方程。解：由于，因此存在为等差数列。假设该等差数列公差是d，那么存在=，将以上公式代入中，获得，即：，求得，如果d=,x=4,d=10；如果d=-,x=9,y=5，所以，原方程组的解是例3：数列中，已知,，求通项。分析：很显然，该数列并非等差或者等比数列，所以，不好通过等差或者等比数列公式来求，而所给出的条件可变形为，于是，可构造出等比数列，从而获得通项。解：，，也就是说，数列为等比数列，且首项是，公比是q=2。本题我们通过变形构造出一个等比数列,进而求得了通项.我们还可以进一步推广到一

6、般情形;若数列满足，则可设，应用待定系数法可求得，由此就构成一个数列，进而将其通项求出来。函数在高中数学题目中一般会和方程放在一起，函数、方程均为高中数学教学的关键内容，是高中数学考试的重大、热点，同时也是难点。函数具有一定抽象性，所以对学生的空间想象能力以及分析能力要求较高，是困扰学生的主要数学问题之一。对于高中数学函数题型，学生需要有针对性的解题思想，掌握有效的解题技巧，通过特殊渠道将复杂、抽象的函数问题直观化、简单化，进而找到解题主线，计算着正确答案。高中数学的很多题目中，不论是几何题型还是代数题型都含有一定的函数思想，因

7、此在解答过程中对问题进行分析、想象，充分利用函数构造方法对题目中的数量关系进行简化再进行解答，这样思路就清晰很多。例4分析：通过分析题目信息可发现如果将题目中的用代替可得到一个的关系式，如果将该式子假设成一个的函数，就可以构造函数式，如果将转化为，可以得出是区间内的一个递增函数，然后对题目进行求解即可。在高中数学问题解决中选择图形解题方法，可使复杂抽象的问题简单化或者形象化，以增加问题的直观性，者有助于对学生数形结合理念进行培养。例5：，其中（０≤ｘ≤４），对其最小值进行求解。解析：依照题意可对该题目实施图形构造，通过构造直角三

8、角形，以尽可能的简化该问题。　　　　　　　　　　　　Ｄ　　　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　　　　　　　　Ｂ图１通过分析图１，可得出ＡＢ⊥ＢＤ，ＡＢ⊥ＡＣ，当ＡＢ，ＡＣ，ＢＤ的取值设定为４，１,２时，在ＡＢ上会出新一个动点Ｏ，为此设ＡＯ＝