2018版高中数学苏教版必修四学案：2.3.1　平面向量基本定理

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修四学案2.3.1　平面向量基本定理学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一　平面向量基本定理思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？　思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？　梳理　(1)平面向量基本定理：

2、如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，________________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．知识点二　向量的正交分解思考　一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？　梳理　正交分解的含义一个平面向量用一组基底e

3、1，e2表示成a＝_____的形式，我们称它为向量a的_____．当e1，e2所在直线互相________时，这种分解也称为向量a的____________．72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案类型一　对基底概念的理解例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2

4、共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1　e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e1＋e2，e1－e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e

5、2；⑤2e1－e2，e1－e2.类型二　用基底表示向量例2　如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.引申探究若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.　　　反思与感悟　将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2　如图所示，在△AOB中，＝a，＝b

6、，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.　　类型三　平面向量基本定理的应用例3　在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．　　反思与感悟　当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练3　已知向量e1，

7、e2是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．　　1．下列关于基底的说法中，正确的是________．72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.2．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝_____.3．已知向量e1，e2不共线，实数

8、x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.4．如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则当以a，b为基底时，可表示为________，当以a，c为基底时，可表示为________．5．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a、b为基底表示，，.　　1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两