【数学】湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期中考试(理)

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1、湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期中考试(理)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.观察下列各式:,,,则的末两位数字是A.01B.43C.07D.49答案:B解析:末两位数字从算起,07,49,4301周期变化,周期为4.2.用反证法证明命题“已知,若,且,则中至少有一个负数”时,应假设A.中至少有一个正数B.全为正数C.全部都大于等于0D.中至多有一个负数答案:C解析:中至少有一个负数的否定为都不是负数,即都大于等于0.3.若复数满足为虚数单位),则A.B.C.D.答案:D解析:

2、由复数的除法,,4.已知,下列不等式恒成立的是A.B.C.D.答案:A解析:检验=,故A成立5.已知函数,则函数图象在处的切线方程为A.B.C.D.答案:B解析:,又,故所求切线方程为106.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数,则的取值范围是A.B.C.D.答案:B解析:(),易知为其极值点,故需满足,解得7.若,则函数的最小值为A.16B8C.10D.没有最小值答案:B解析:设,则,取最小值当且仅当8.一台打桩机将一木桩打入地下,每次打击所做的功相等,土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比。若第一次打击将木桩打入1米深,则第二次打入的深度为()米A.B

3、.C.D.答案:B解析:设,由,得,故第二次打入的深度为9.经过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点,若,则这样的直线有()条A.4B.3C.2D.1答案:B解析:双曲线的通径长为,故当都在双曲线右支上,这样的直线有两条由于,当位于两支上时,即为实轴,,这样的直线唯一所以,这样的直线有3条1010.正方体的棱长为1,是棱的中点,点是平面上的动点,且动点到直线的距离与到点到点的距离的平方差为1,则动点的轨迹是A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线答案:B解析:作于,于,则为点到直线的距离。由已知,,而,则,得点是以为焦点,为准线的抛物线。11.定义在上的函数满足:,,则不

4、等式(其中为自然对数的底数)的解集为A.B.C.D.答案:A解析:设原不等式即=,在上单调递增,且,故由得12.已知定义在上的单调函数,对,都有,则方程的解所在的区间是A.B.C.D.答案:B解析:在上单调,故可设(为常数),由已知即,得记,显然是上的增函数,且,,∴的零点在上。二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线与直线围成的封闭图形的面积为__________.10答案:解析:14.已知复数满足,则的最大值为_______________.答案:7解析:复数对应的点的轨迹是以为圆心,半径为的圆。的几何意义是点到原点的距离,15.若函数有零点

5、,则的取值范围是_______________.答案:解析:即有解,下求的值域。()时,,时,,即16.计算,可以采用以下方法:构造等式:两边对求导得:令,有类比上述计算方法,计算答案:解析:由,两边乘以得两边对求导:10令,有.三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题共10分)已知函数(1)解关于的不等式;(2)若恒成立,求实数的取值范围.解:(1)不等式即去绝对值,得或或…………2分得解集为…………5分(2)由绝对值三角不等式…………10分18.(本小题共12分)已知数列的通项公式,记(1)求;(2)试猜想数列

6、的通项公式,并证明你的结论.解:(1)…………4分(2)猜想,用数学归纳法证明…………6分①时,,结论成立。②假设时结论成立,即则时,10即时结论成立。有①②可知,…………12分19.(本小题共12分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数关系式可以表示为().已知甲乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?解:(1)当时,汽车从甲地到乙地行驶了(小时)耗油(升)…………4分(2)速度千米/小时时

7、,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升依题意得…………6分∵当时,,是减函数,时,,是增函数∴当时,即汽车以千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为升。…………12分方法二:…………6分∴=…………10分当且仅当即时,等号成立,取最小值。…………12分1020.(本小题共12分)如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上.(1)求证:;(2)若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.解:(1)如图,设为的中点,连结,则,所以四边形为平行四边形,故,又,所以,故,又因为平面,所以,且,所以平面,故有…………………………………5分(2)如图,以为原点,

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