浮点数表示方法的分析研究

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1、浮点数表示方法的分析研究浮点数表示方法的分析研究[日期：2006-06-10]来源：作者：[字体：大中小]　摘要：在《计算机组成原理》课程的教学中，浮点数的表示与运算是一个重点，也是难点。本文对浮点数的一般表示及标准表示的方法、范围、存储格式等进行了比较深入地比较、分析和研究，力求给读者一个清晰的概述。　　关键词：浮点数，表示方法，符号，尾数，阶码，范围　　《计算机组成原理》课程是计算机科学与技术专业的一门必修专业基础课，主要是讲述计算机系统几大硬件的组成结构和工作原理。在其核心部件——运算器(Arithmetician)的运算机制中，浮点数（Floating-point）的表示与

2、运算方法是一个重点，也是难点，笔者在查阅了大量中外文文献的基础上，根据多年的教学实践经验，对浮点数的表示方法、规格化处理方法、表示范围进行了比较详细地分析研究，以方便学生的学习，共同行们参考。　　1、浮点数的一般表示方法　　在数学中，表示一个浮点数需要三要素：尾数（mantissa）、指数（exponent，又称阶码）和基数（base），都用其第一个字母来表示的话，那么任意一个浮点数N可以表示成下列形式：N=M×BE，例如N1=1.234×10-6，N2=-0.001011×2011等，同样的数字对于不同的基数是不相同的，移动小数点的位置，其指数相应地跟着变化。在计算机中，表示一个

3、浮点数，同样需要以上三要素，只是阶码与尾数一同存储，基数常有2、8、16等数值，下面的讨论以2为基数进行。　　将浮点数放在计算机中存储时，尾数M用定点（Fixed-point）小数的形式，阶码E用有符号整数形式，改变M中小数点的位置，同时需要修改E的值，可以给出有效数字（significantnumber）的位数，因此M和E决定了浮点数的精度（precision），E指明小数点在B进制数据中的位置，因而E和B决定了浮点数的表示范围（range），浮点数的符号（Sign）是单独考虑，设阶码有m+1位，尾数有n+1位，则一般浮点数的表示方法如图1所示，其中，下标s代表符号位，下标数字代

4、表数字所处的位数，尾数的小数点默认最高数字位M1之前。图（b）是将尾数的符号位提在最前面，其它部分与图（a）一样，是目前常用的一种表示形式。图1浮点数的一般表示形式　　在这种表示方法中，阶码的二进制编码（binarycode）一般是原码（signmagnitude）、补码（twoscomplement）或移码（bias），尾数的编码一般是原码或补码。　　2、浮点数的规格化处理　　在浮点数系统中，小数点的浮动使数值的表示不能惟一，从而给数据处理带来困难，因此有必要使浮点数的表示与存储有一定的标准，考虑到阶码、尾数之间的关系，常将尾数的最高数字位是有效值的数值称为规格化（normali

5、zation），由于尾数可以是原码或补码，所以有两种规格化的形式，如表1所示。表1规格化数据的形式尾数编码尾数代码形式说明正数负数原码0.1×××1.1×××最高数治槐匦胛?补码0.1×××1.0×××符号位与最高数字位必须相反对于二进制尾数，规格化限制了其范围是：1/2≤

6、M

7、＜1，通过左右移动小数点，增减阶码的值来进行规格化处理。在浮点数中，零的表示比较特殊。一个是零浮点数，一般地，对于规格化的浮点数来说，无论阶码为任何值，尾数为零就认为该浮点数是零，但这实际上是由尾数的舍入而近似的值，要让总体浮点数趋近于零，其阶码必须是一个不超出表示范围的最大的负数才行。设阶码含符号为n位，

8、则整数阶码所表示的范围是：至或至，即是或。　　另一个问题产生于零的唯一表达问题，为了实现用指令测试零，约定在定点数和浮点数格式中零具有相同的表达式，将浮点数的阶码值进行余编码，就像BCD码中余3码加3一样，阶码被描述为E加上，这个就叫偏移（bias），由上面分析可知的取值有两种，浮点数的标准表示形式（IEEE754标准）所采用的是偏移值。　　3浮点数的表示范围　　浮点数的表示有一定的范围，超出范围时会产生溢出（flow），一般称大于绝对值最大的数据为上溢（overflow），小于绝对值最小的数据为下溢（underflow）。浮点数表示范围一般分以下几种情况考虑，设浮点数的阶码和尾数

9、均用补码表示（原码表示比较简单），阶码为m+1位（其中1位是符号），尾数为n+1（其中1位是符号），则浮点数的典型范围值如表2所示。表2浮点数的典型范围值典型范围浮点数代码真值数符(Ms)阶码(E)尾数(M)最大正数最小正数规格化的最小正数绝对值最大的负数绝对值最小的负数规格化的绝对值最小负数000111011…11100…00100…00011…11100…00100…0011………1100………0110………0000………0011………1101………11　　4、标