圆锥曲线章节复习

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1、【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线章节复习 二.重点、难点：1.重点：   椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2.难点：直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用 三.知识结构： 【典型例题】[例1]已知，试讨论当的值变化时，方程表示曲线的形状。解：（1）当时，方程为，即，表示两条平行于轴的直线。（2）当时，，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆。（3）当时，方程为，表示圆心在原点，半径为的圆。（4）当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆。（5）当时，方程化为，表示两条平行于轴的直线。（6）当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线。 [例2]已知双曲线

2、的中心在原点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4，）。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，）在此双曲线上，求；（3）求的面积。解：（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程∵双曲线的一条渐近线方程为  ∴设双曲线方程为把点（4，）代入双曲线方程得，∴所求双曲线方程为（2）由（1）知双曲线方程为∴双曲线的焦点为、  ∵M点在双曲线上∴，∴            （3）∵   ∴   ∴为直角三角形∵∴ [例3]已知抛物线的焦点为A，以B（）为圆心，长为半径，在轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点。（1）求的值；（2）是否存在这样的值，使

3、、、成等差数列？解：如下图，A（） ∵    ∴圆的方程为与联立得∴   解得   设   则，∴（2）设P（），则，∴   ∴∴若、成等差数列，则∴解得，这与矛盾故不存在，使成等差数列 [例4]已知双曲线与点P（1，2），过P点作直线与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点。（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明：不存在以Q为中点的弦。方法一：（1）解：设过P（1，2）点的直线为，代入双曲线方程得由线段AB中点为P（1，2）  ∴解得，又时，使   从而直线AB方程为（2）证明：按同样方法求得，而使，所以直线CD不存在方法二：设A（）、B（），①，

4、②①－②得：∴写出直线方程，即，检验与双曲线有交点 [例5]已知双曲线（，）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为，双曲线的一条渐近线为，问是否存在点P，使、、成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。解：假设存在点P（）满足题中条件∵双曲线的一条渐近线为  ∴，∴， 即由，得①∵双曲线的两准线方程为  ∴   ∵点P在双曲线的左支上∴代入①得∴，代入，得②∴存在点P使成等比数列，点P的坐标是（） [例6]如图，直线和相交于点M，，点N，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，，

5、=3，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。解：方法一：以为轴，MN的中点O为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，是准线。所以可令抛物线的方程为，过点A作，，垂足分别为Q和E，由于是锐角三角形，则点E必在线段MN上。所以，  ∵    ∴  ∴∴抛物线方程为由上述可知，，点B到准线的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在轴上方，故曲线段C的方程为方法二：以为轴，为轴建立如下图的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在轴上，顶点应是线段MN的中点。令曲线段C所在的抛物线方程为：  设

6、则：由（1）－（2）得  代入（1）得∴    ∵   ∴   ∵     ∴代入（3）得   ∴曲线段C的方程为 [例7]设分别为椭圆C：（）的左、右两个焦点。（1）若椭圆C上的点A（1，）到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点。求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：（1）椭圆C的焦点在轴上  ∵椭圆上的点A到

7、两点的距离和是4，得，即又∵点A（）在椭圆上  ∴，得∴   ∴椭圆C的方程为，焦点为、（2）设椭圆C上的动点为K（），线段F1K的中点Q（）满足：  ∴因此  即为所求的轨迹方程（3）类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值。证明如下：设点M的坐标为（），则点N的坐标为（），其中。又设点P的坐标为（），由，=，得将，，代入得，命题得证。 [例8]直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段AB

8、为直径的圆经过双曲线C的