高考数学复习专题练习第6讲 空间向量及其运算.pdf

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1、第6讲空间向量及其运算一、选择题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．0B．1C．2D．3解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，

2、b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案　A→→→→→→2．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析法一：如图，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，得三棱锥A－BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，∵正四面体的对棱互相垂直，→→→→∴AB·CD＝0，AC·DB＝0，→→AD·BC＝0.→→→→→→∴AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝0.→→→法二：在法一的图中，选取不共面的向量AB，，ACAD为基底，→→→→→→→→→则原式＝AB·(AD

3、－AC)＋AC·(AB－AD)＋AD·(AC－AB)→→→→→→→→→→→→＝AB·AD－AB·AC＋AC·AB－AC·AD＋AD·AC－AD·AB＝0.答案B3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案

4、　C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOBπ→→＝∠AOC＝，则cos〈OA，〉的值为BC()．31A．0B.232C.D.22→→→解析　设OA＝a，OB＝b，OC＝c，π由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

5、b

6、＝

7、c

8、，3→→11→→OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

9、a

10、

11、c

12、－

13、a

14、

15、b

16、＝0，∴cos〈OA，〉＝BC0.22答案　A5．以下四个命题中正确的是()．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底→→C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC

17、＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)aλ－1λ＋μ＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，1－μ1－μ则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案　B→→1→6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B2→的中点，则

18、MN

19、为()216A.B.661515C.D.63→→→解析如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.→→→→11211由条件知MN＝MA＋AB

20、＋BN＝－(a＋b＋c)＋a＋c＝a－b＋c32336→41121∴MN2＝a2＋b2＋c2＝993636→21∴

21、MN

22、＝.6答案A二、填空题7．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．→→→→→1→1→1→①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；532→→→→→→→③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0；→→→→→→→→→解析　∵MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，则MA、、MBMC为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案　③8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点→→→→共面，且OA＝2xBO＋3y

23、CO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝________.解析∵A，B，C，D四点共面，[来源:学

24、科

25、网Z

26、X

27、X

28、K]→→→→∴OA＝mOB＋nOC＋pOD，且m＋n＋p＝1.→→→→由条件知OA＝－2xOB－3yOC－4zOD，∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1.∴2x＋3y＋4z＝－1.答案－19．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平