第6讲空间向量及其运算

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1、第6讲空间向量及其运算一、选择题1．以下四个命题中正确的是(　　)．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案　B2．若

2、向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝(　　)．A．－4B．－2C．4D．2解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案　D3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析　若c、a＋b、a

3、－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案　C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．A．0　　　　B.C.　　　　D.解析　设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

4、b

5、＝

6、c

7、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

8、a

9、

10、c

11、－

12、a

13、

14、b

15、＝0，∴cos〈，〉＝0.答案　A5．如图所示，在长方体ABCD－A

16、1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)．A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.答案　A6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)A.B.C．1D.解析＝＋＋，∴

17、

18、2＝

19、

20、2＋

21、

22、2＋

23、

24、2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故

25、

26、＝.答案　D二、填空题7.设R，向量，且，则解析.答案8.在空间四边形ABCD中，·＋

27、·＋·＝________.解析　如图，设＝a，＝b，＝c，·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案　09．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为

28、··

29、.其中正确命题的序号是________．解析由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中

30、··

31、＝0.故④也不正确．答案①②1

32、0．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．解析　设＝a，＝b，＝c.OA与BC所成的角为θ，·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.∴cosθ＝＝＝.答案　三、解答题11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．(1)判断、、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解　(1)由已知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－

33、－，∴，，共面．(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．12．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小．解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a），F（a，a,0）.(1)

34、

35、2＝2＋2＋2＝a2，∴

36、EF

37、＝a.(2)＝，＝，·＝0×a＋×＋a×0＝－，

38、

39、＝，

40、

41、＝，

42、cos〈，〉＝＝－，∴∠EOF＝120°.13．如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．证明　设＝a，＝b，＝c，则