第4讲 简单最值问题

第4讲 简单最值问题

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时间:2018-09-15

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1、学科:奥数教学内容:第4讲简单最值问题 知识网络我们把研究某种量(或几种量)在一定条件下取得最大值或最小值的问题,称为最大与最小问题。此类问题涉及很广,本讲以向同学们讲解解决此类问题的思维方法为主。 重点·难点虽然求最大和最小问题无固定的解法,但结合问题出现的不同的知识点,求解还是有章可循的。关键是要注意分析一些隐含着的限制条件。 学法指导解题是一种实践性较强的技能,就像游泳、滑雪或弹钢琴一样,要通过模仿、练习和钻研来掌握。学习中还要注意去发现并总结规律,将其应用到其他题目的求解中去,往往会起到事半功倍的作用。 经典例题[例1]把14分解为两个自然数的和,使它们的乘积

2、最大,求这个最大的乘积。 思路剖析先列出14可能分解成的两个自然数的和的所有情况:14=1+13,1×13=13;14=2+12,2×12=24;14=3+11,3×11=33,14=4+10,4×10=40;14=5+9,5×9=45;14=6+8,6×8=48;14=7+7,7×7=49。由上述算式可观察到,随着拆成的两个数越来越接近,积越来越大。因此将14拆成两个相等的数时,乘积最大。 解答把14分解为两个相等的数的和:14=7+7,它们的积最大,为7×7=49。 点津由此题的求解,我们可以得到这样一个规律性的结论:当两个数和一定时,在它们相等时,乘积最大;在它

3、们不相等时,两数差距越大,乘积越小。应用此规模很容易判断:49×51与48×52的大小是:49×51>48×52。[例2]已知:A、B、C、D、E、F、G、H是0~9中的8个不同的整数。构成算式,其中,、均为四位数,且A≠0,E≠0。求:与之和的最大值及最小值。 思路剖析将题中已知的算式转化成加法为:。注意到A、B、C、D、E、F、G、H为8个不同的数,那么为使千位上F与B不重复,则百位上求和不能有进位,相应的个位求和值也不能超过10。由此可确定G=0,C=9,D=H+4。 设,为使M值最大,则首位数字应尽可能大,由于C=9,则A≠9,那么取A=8,由于G=0,则F≠

4、0,那么F+9>10,则E+l+l=A,可知E=6。其次应使百位数字B尽可能大,由于F+9=10+B,那么F与B是相邻自然数,剩下的数中只有4、5相邻,则F=5,B=4。最后使个位数字D尽可能大,则取D=7,那么H=3。这样可得M的最大值:8497+6503=15000。 为使M的值最小,那么取A=3,因为E+l+l=A,所以E=l,B值取尽可能小的,且F与B是相邻的自然数,则F=5,B=4。最后使个位数字D尽可能小,则取D=6,那么H=6-4=2。这样可得M的最小值:3496+150=4998 解答与和的最大值:15000最小值:4998。 点津适当地改变已知条件的

5、形式,将减法变成加法,有利于问题的思考。[例3]如图1,在6×6的方格纸上。P点在直线AB上滑动,那么(PC+PD)长度的最小值是多少?  思路剖析欲使(PC+PD)值最小,在PD、PC中含有三个字母,恰好构成△PCD,而(PC+PD)是其中的两边之和,DC为第三边。由三角形的性质,易想到两边之和大于第三边,即PC+PD>DC。则DC应为PC与PD和的最小值。 解答当P点滑动到使C、P、D三点在一条直线上时,(PC+PD)的值最小。此时PC+PD=DC,DC长度为6。答:(PC+PD)长度的最小值是6。 点津恰当地应用几何图形的性质,有助于问题的解决。[例4]商店进玩

6、具熊若干,每三个一数则余下一只,若每五个一数则还差4个。问商店至少进了多少只玩具熊? 思路剖析由题中条件“若每五个一数还差4个”,亦可理解为每五个一数余下一个。再加上第一个条件,“每三个一数余下一只”,说明玩具的总数若减去1之后,应既是3的倍数,又是5的倍数。因为3、5互质,则这样的数最小为3×5=15。 解答3×5+l=15+1=16(只)答:商店至少进了16只玩具熊。[例5]老师要给班里的37名同学每人发一支红笔和一支蓝笔,商店中每种笔都是5支一包或3支一包,不能打开包零售。5支一包的红笔60元,蓝笔70元;3支一包的红笔38元,蓝笔47元。请你帮助老师设计一下购

7、买方案,怎样买才能花钱最少?花多少钱? 思路剖析先来比较一下两种红笔的单价5支一包单价60÷5=12(元)。3支一包的单价38÷3=12…2,即5支一包的红笔较便宜。再来比较两种蓝笔的单价:5支一包单价70÷5=14(元),3支一包的单价47÷3=15…2,还是5支一包的比较便宜。因此在方案中应多买5支一包的,以3支一包的作补充。37=5×7+2,一种方案是买7包5支一包的,再买1包三支一包的,将多花一支笔钱。第二种方案,少买几包5支一包的,调整为若干包3支一包的,使买的笔数正好。37=5×5+3×4,即买5包5支一包的,4包3支一包的。将两种方案都

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