高中数学 1.3.2 三角函数的诱导公式（二）学案 新人教a版必修4

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1、1.3三角函数的诱导公式【学习要求】1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．【学法指导】六组诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，即诱导公式左边的角可统一写成k·±α(k∈Z)的形式，当k为奇数时公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，公式符号右边的三角函数名称与左

2、边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当成锐角，看k·±α为第几象限角.1．诱导公式五～六(1)公式五：sin＝；cos＝.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin＝；cos＝.2．诱导公式五～六的记忆－α，＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.探究点一　诱导公式五(1)诱导公式五的提出：在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义、完成下列填空：sinα＝，cosα＝，sin＝，cos＝.根据上述结论，你有什么猜想？sin＝

3、；cos＝.(2)诱导公式五的推导：答　角α的终边与－α的终边关于直线y＝x对称．问题1　若α为任意角，那么－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？问题2　设角α与单位圆交于点P(x，y)，则－α与单位圆交于点P′，写出点P′的坐标．答　P′(y，x)．问题3　根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：sinα＝，cosα＝；sin＝，cos＝.所以，对任意角α都有：sin＝，cos＝.探究点二　诱导公式六(1)诱导公式六：sin＝，cos＝.(2)诱导公式六的推导：思路一　根据＋α＝－(－α)这一等式，利用诱导公式三和诱导公

4、式五推导诱导公式六．答　sin(＋α)＝sin＝cos(－α)＝cosα；cos＝cos＝sin(－α)＝－sinα.思路二　根据＋α＝π－这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．答　sin＝sin＝sin＝cosα，cos＝cos＝－cos＝－sinα，∴sin＝cosα，cos＝－sinα.探究点三　诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳

5、：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：sin＝，cos＝，sin＝，cos＝.你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗？答　sin＝sin＝－sin＝－cosα；cos

6、＝cos＝－cos＝－sinα；sin＝sin＝－sin＝－cosα；cos＝cos＝－cos＝sinα.【典型例题】例1　已知cos＝，≤α≤，求sin的值．解　∵α＋＝＋，∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.小结　利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值．例2　求证：＝.证明　∵左边＝＝＝＝＝＝右边＝＝＝.∴左边＝右边，故原等式成立．小结　三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化

7、繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误．跟踪训练2　.例3　已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值．解　∵sin(5π－θ)＋sin＝sin(π－θ)＋sin＝sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝[(sinθ＋cosθ)2－1]＝＝，∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×2＝.小结　解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的

8、关系求值．跟踪训练3　已知sin(θ－π)＋cos＝，求sin3－cos3.1．已知sin＝，则cos的值为(　　)A．－B．C．D．－2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为(　　)A.B.C.D．－3．代数式