线性代数解题的思维定势

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1、线性代数解题的八种思维定势第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=

2、A

3、E。例1（2000年）设矩阵A的伴随矩阵，且，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B．分析本题相当于解矩阵方程．若先从求出及，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大．考虑到题设与有关，若先用化简，则方便得多．解由先右乘A，得，再左乘，并利用，得，即

4、．再由，得，即．于是有，．故评注题设与有关时，一般均可考虑利用及其相关公式，结论先化简、再计算．第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f

5、(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。例3已知为3阶方阵满足，（1）证明可逆，并求；（2）若，求矩阵．解：（1）由于，所以，即于是，故可逆且．（2）由于，所以，于是又由于，有于是．第四句话：若要证明一组向量线性无关，先考虑用定义再说。例4设阶矩阵的4个不同特征值为，其对应的特征向量依次为，记，求证：线性无关．解法1，从而．无关，，，故的秩为4，故线性无关．解法2设存在一组数使（1）由题设，利用特征向量的性质可得（2）将（2）式一并代入（1）式可有整理得因分属不同的特征值，故线性无关，从而有视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德

6、蒙德行列的转置．因互异，所以．这表明只有零解，即=0，从而线性无关．第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。例5已知3阶矩阵A的第一行是，其中不全为零，矩阵，（为常数），且，求线性方程组的通解．解：由知，，又则．(1)若，则必有，此时，方程组的通解为，（为任意常数）．(2)若，则，线性方程组可化为，且满足若，方程组的通解为，（为任意常数），若，方程组的通解为，（为任意常数）．注：也可直接对和进行讨论．第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。例6已知向量组线性相关，求的值．解：，所以．第七句话：若已知A的特征向量x0，则先用定义A

7、x0=λ0x0处理一下再说。例7已知二维非零向量X不是2阶方阵A的特征向量，(Ⅰ)证明线性无关；（Ⅱ）若满足，求A的全部特征值和特征向量，并由此判断A能否与对角矩阵相似，若能请写出该对角矩阵。解(Ⅰ)设，则必有，否则，从而X是A的属于特征值的特征向量，与题设矛盾。由此有，因为，故，说明线性无关；（Ⅱ）由，得，因为线性无关，所以，即是A的特征值，A的属于特征值的特征向量为，其中为任意非零数，同理，2是A的特征值，A的属于特征值2的特征向量为，其中为任意非零数。由于A有两个相异特征值，从而有两个线性无关的特征向量，因此A可对角化，且A与对角矩阵相似。评注本题综合考查了向量组的线性相关、矩阵

8、分解、特征值和特征向量的概念与性质，矩阵相似对角化的判定等知识点．第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。例8设为正定阵，则仍为正定阵．证：因为是正定阵，故为实对称阵，且的特征值全大于零，易见全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故全是正定矩阵，为实对称阵．对，有即的正定矩阵．