《导数及其应用》

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1、1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’

2、。即f（x）==。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/

3、（x）（x－x）。3．几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4.单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；5.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；6．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)

4、、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。1.导数定义的应用1．若函数在区间内可导，且则的值为（B）A．B．C．D．2BCAyx1O34561234例2如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，_________．解：由图可知，根据导数的定义知．2.利用导数研究函数的图像例3设＜b,函数的图像可能是6解：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.3.利用导数解决函数的单调性问题例5已知函数，．（Ⅰ）讨

5、论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．4.利用导数求函数的极值与最值例7已知函数（），其中．若函数仅在处有极值，求的取值范围．解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件

6、的的取值范围是．5.利用导数解决实际问题例8用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为(m)，高6为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，6，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1.5、填空题1．若，则的值为_________________；4．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_____

7、__________；5．函数的单调递增区间是_____________________一、选择题：1．设函数f(x)在处可导，则等于（）A．B．C．-D．-2．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．90°B．0°C．锐角D．钝角3．函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为（）A、2B、－2C、0D、－44．设函数的导函数为，且，则等于()A、B、C、D、5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A、－

8、12D、a<－3或a>66、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f¢(x)可能为（D）xyOxyOAxyOBxyOCxyOD67、对于R上可导的任意函数f（x），且若满足（x－1）>0，则必有（C）A、f（0）＋f（2）<2f（1）B、f（0）＋f（2）³2f（1）C、f（0）＋f（2）>2f（1）D、f（0）＋f（2）³2f（1）二、填空题8.求的导数9.设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值

9、范围为.10．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为11.已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为P(4,－4).三、解答题12.（本题满分12分）已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.12.（1）由得因为，所