南昌大学数学物理方法期末考试2009c卷答案

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1、南昌大学2008~2009学年第二学期期末考试试卷参考答案及评分标准试卷编号:6031(C)卷课程编号:H55020190课程名称:数学物理方法考试形式:闭卷适用班级:物理系07各专业姓名:学号:班级:学院:专业:考试日期:题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分5050100得分考生注意事项:1、本试卷共6页,请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、请仔细阅读题前的说明。一、基础题(每小题10分,共50分)得分评阅人1.(1)计算的代数式和的三角式.(2)已知复数的模为2,即,求()。解:(1

2、),。---(5分)(2)首先因为,所以有。因此得,即。---(5分)第5页共5页2.(1)试说明解析与可导之间的联系与区别。(2)解析函数有那些基本性质?(3)已知解析函数的实部为,试验证其虚部为。解:(1)解析必定可导,可导不一定解析。---(2分)(2)解析函数的实部虚部可构成正交曲线族,且为共轭调和函数。---(3分)(3)令实部,若虚部,容易验证它们的偏导数存在且连续,并且满足柯西黎曼条件,因此的虚部为。---(5分)3.(1)幂级数和双边幂级数的收敛性质有什么区别?(2)给出泰勒展开的公式。(3)以原点为展开中心,在原点的邻域上,将函数展开为泰勒级数。解:(1

3、)幂级数和双边幂级数分别的收敛区域分别为收敛园与环域。---(2分)(2)---(3分)(3)由,,,容易证明,所以。同时还有。然后由泰勒展开公式得---(5分)第5页共5页4.(1)什么是孤立奇点?(2)孤立奇点可分为哪几类?并举例说明。(3)试说明的奇点的特点,举例说明。解:(1)孤立奇点的某一邻域不包含其它奇点。---(2分)(2)孤立奇点可分可去奇点,如的奇点,极点,如的奇点,和本性奇点,如的奇点,---(5分)(3)当时,其极限依赖于的方式。例如,。---(3分)5.已知函数的傅里叶变换为,试证明的傅里叶变换为。证明:由于函数的傅里叶变换,---(2分)则的傅里

4、叶变换为---(3分)根据傅里叶积分定理,有,于是,上式中的第一项为0。---(2分)所以---(3分)第5页共5页二、计算题(每小题25分,共50分)得分评阅人1.(1)计算函数在其各个极点的留数。(2)用留数定理计算,其中C为以原点为圆心,半径为3的圆周。(3)用留数定理计算实积分。解:(1)解:有两个极点:单极点,两阶极点。---(1分)留数分别为---(2分)和---(2分)(2)积分---(5分)所以---(5分)(3)做变换,原积分化为---(3分)由得两个根。但在积分围线内,只有点是被积函数的单极点。---(3分)因为---(2分)根据留数定理得---(2分

5、)第5页共5页2.(1)试写出达朗贝尔公式,并求解偏微分方程,初始条件为。(2)解常微分方程初值问题。注:可使用拉普拉斯变换,或其它任何方法。解:(1)若方程的初始条件为,则其解为,此即达朗贝尔公式。---(5分)本题中,,,,则---(10分)(2)拉普拉斯变换得---(3分)所以---(4分)逆变换得---(3分)第5页共5页

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