第4章 功和能习题解答

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1、第4章功和能4-1如图，质量为的小球由长为的轻质细绳悬挂在天花板上点，求小球沿圆弧从最低位置a运动到细绳与竖直方向夹角为的过程中重力所做的功。（不考虑空气阻力）。解方法一，建立如解用图1所示的直角坐标系，重力,位移细绳与竖直方向夹角为*方法二，如解用图2，设质点位置与竖直方向夹角为，重力与位移的夹角为（）式中是位移所对应的圆弧，，细绳与竖直方向夹角为习题4-1图习题4-1解用图1习题4-1解用图24-2如图，一根长为，质量为的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位置。现将细杆在拉力的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成角的位置。求在此过程中重力

2、矩所作的功（不考虑空气阻力）。解如图，设刚体与竖直方向夹角为，此时重力矩重力矩做的功10习题4-2图习题4-2解用图4-3质量为的质点在变力的作用下沿空间曲线运动，其位矢。求力的功率。解4-4质量的质点在力作用下沿轴运动，其运动方程为，求力在最初2.0秒内所做的功。解方法一力在最初2.0秒内所做的功方法二，，应用动能定理4-5质量为的物体沿轴无摩擦地运动，设时，物体位于原点，速率为零。如果物体在沿着轴方向的作用力的作用下运动了3米，计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少？10解力在3米内做的功根据质点的动能定理得质点处于3米处的力，加速度4-6质量为的物体在阻尼介

3、质中以低速作直线运动时，阻力近似为速度的线性函数，式中是正常数。试证明物体以初速度开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等于物体损失的动能。证物体开始时速度为后来静止，则在此过程中损失的动能阻尼力所做的功由牛顿第二定律得或代入功的表达式积分得4-7质量分布均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂，绳全长为。开始时下垂部分为，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）。解以整个绳子为研究对象，下垂部分为时，绳子所受合力为。若在此力作用下，绳子下移了，则合力做的元功整个绳全部离开桌面时合力所做的功由动能定理可得4-8铁锤将一

4、铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。解由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁钉时的速度。铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。阻力对它所作的功即为其动能的变化。10设木板对铁钉的阻力为，第一次击入深度为，则阻力的功设第二次打击钉后深度达，则阻力所做的功铁锤两次打击时的速度相同，，解得习题4-9图第二次击入深度为4-9质量为的小球系在

5、绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔，使小球限制在一光滑水平面上运动，先使小球以速度绕小孔做半径为的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为，求力所做的功。解小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，还受绳子的拉力作用，拉力对小孔的力矩为零,满足角动量守恒条件，设小球速度的大小变为，则或根据动能定理得力所做的功习题4-10图4-10如图，长为、质量为的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链相连并绕其无摩擦地转动，此杆因受到微小扰动在重力作用下由静止开始绕点转动。以点为重力势能零点，当角为何值时刚体定轴转动的动能等于其重力势能。解经分析知，刚体在绕铰链点定轴转动的

6、过程中，只有重力做功，满足机械能守恒的条件,取点为势能零点。刚体处于竖直位置，处在如图所示位置时的角速度为，10刚体定轴转动的动能等于重力势能有，即解得习题4-11图4-11长为、质量为的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静止于竖直位置，现有一粒质量为的子弹以水平速度从杆的中点穿过，穿出速度为，如图所示，求杆的最大摆角。解选子弹和木杆组成的系统为研究对象，子弹和木杆相互作用过程角动量守恒。开始时，系统相对于点的角动量设相互作用后，木杆转动的角速度为，则系统的角动量得到解得（1）木杆在摆动过程中(图示位置),所受重力矩为，负号表示与转动方向相反，所做的功应用刚体

7、定轴转动的动能定理得将式（1）代入上式，求得最大摆角习题4-12图4-12如图，质量为、长为、初始角速度为的匀质细杆，可绕光滑垂直轴在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为，求细杆在停止转动前所转过的角度。解取为正向，由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为10“－”表示力矩使杆减速。根据刚体定轴转动的动能定理得解得习题4-13图4-13如图，一半径为、质量为的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘最初以角速度绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，求圆盘在停止转动前所转过的角度。解取为正向，由习题3-13的结果知整个圆