新概率习题-4

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1、习题课参数估计三、补充练习一、内容小结二、典例分析一、内容小结1.基本概念总体X，样本(X1,X2,…,Xn)，样本容量，简单随机样本，2.常用统计量的分布样本值(x1,x2,…,xn)，统计量g(X1,X2,…,Xn)样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩,样本k阶中心矩①三大统计分布设总体X～N(0,1),(X1,X2，…Xn)为样本,则3>设U~2(n1),V~2(n2),且U与V相互独立,则称随机变量②单个正态总体设总体X～N(，2),(X1,X2，…Xn)为样本,则③两个正态总体设总体X～N(1,12),Y～2

2、,22),且X与Y相互独立,(X1,X2，…Xn1),(Y1,…Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则1>一般情况时有3>3.主要估计方法矩估计：将要估计的总体参数表示成总体X的矩的函数，然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。区间估计：极大似然估计：当我们用样本值估计总体的参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本值出现的概率为最大。从已知条件出发，求得一个含有待估参数θ的、分布为已知（分布与θ无关）的样本函数Z=Z(X1,X2,…,Xn,)，然后根据Z分布的（双侧）α分位点，即可求得的(1-)的置信区间。2>当12

3、=22时4.上分位点及双侧分位点当n>45时，有近似公式：如若Y服从如图，则？？查表练习：t-分布、F-分布与此类似！一旦r.vX的分布为已知，那么X的取值就必定以一定的概率落在一些特定区间内。二、典例分析例1设总体X的概率密度为解:1)的矩估计量.其中>-1是未知参数,X1,X2,…Xn是来自X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.1）建立待估参数与总体的矩之间的关系式；2）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到的估计量。3）代入样本值得到的估计值。由于总体X的数学期望为令其等于样

4、本均值即解得未知参数的矩估计量为2)的极大似然估计量.设(x1,…xn)是来自样本(X1,…Xn)的一个观测值,则参数的似然函数为时,恒有L()>0,故因此,似然方程为解之,得的极大似然估计值,从而得的极大似然估计量为,(4)在最大值点的表达式中,用样本代入就得参数的极大似然估计量.(2)由总体分布导出似然函数L(θ);（其中θ为自变量，x1,x2,…,xn是已知常数）,似然函数为分布律(或概率密度)乘积;(3)求似然函数L(θ)的最大值点(常转化为求lnL(θ)的最大值点);(1)设（x1,x2,…，xn)为样本(X1,X2,…

5、,Xn)的一个观察值；练习：设总体X的概率密度为P133T9（3）其中>0是未知参数,>0是已知常数,试根据来自总体X的简单随机样本X1,X2,…Xn,求的极大似然估计量.解:对数似然函数令解得的极大似然估计值设(x1,…xn)是来自样本(X1,…Xn)的一个观测值,则似然函数故的极大似然估计量例2：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查26个年回收利润率(%),得样本标准差S=15(%),设回收利润率为正态分布,求它的方差的区间估计(置信度为0.95）解：查自由度为26-1=25的2分布表得：于是得2的置信度为0.9

6、5的置信区间为将S2=152,n=25代入得方差2的置信度为0.95的区间估计为(138.39,428.73),若要求标准差的置信度为0.95的区间估计为由①从已知条件出发，寻求一个含有（而不含有其它未知参数）的样本函数,使得随机变量Z的分布为已知的（最好是常用的）分布；②根据Z的分布的分位点，解出的置信区间由于总体的均值未知，故选用r.v例3在一批货物的容量为100的样本中,经检验发现16个次品,试求这批货物次品率的95%的置信区间.则μ=E(X)=p,由独立同分布中心极限定理分析:设X1,X2,…,X100为容量100的样本研究

7、货物的次品率，故设总体设p为货物次品率,p{X=1}=p,①这是一个什么样的总体？服从什么分布？②要估计的是总体的什么参数？求总体参数p的95%的置信区间.代入得解得次品率p的置信区间为(0.101,0.244)关于p的一元二次不等式非正态总体参数区间估计的大样本法例4：设总体X的密度函数(X1,X2,…Xn)来自总体X的样本，Yn=max（X1,X2,…Xn）(1)证明：和都是的无偏估计量；(2)两个估计量哪个更有效？证:(1)又总体X的分布函数为>0是未知参数,因此Yn的分布函数为都是的无偏估计量(2)由于方差越小，估计量越有效，因

8、而只需要算出这两个估计量的方差即可。又，故Yn的密度函数同样求得更有效。P132T3利用定理2的结论计算2分布的期望与方差.由期望的性质得E(Y)=nE(X2)解