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1、第二章数列极限数列极限概念收敛数列的性质数列极限存在的条件1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；2°使学生学会用定义证明极限的基本方法3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。第二章数列极限教学目标：第二章数列极限一数列极限概念我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示
2、变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y＝f(x)所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。1.数列极限的概念课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数
3、列举例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n+1,.数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.数列与函数数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之
4、棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,其长度组成的数列为þýüîíìn21,截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”分析：1°、þýüîíìn21随n增大而减小，且无限接近于常数0；2°数轴上描点，将其形象表示：101/21/4-1EBanan+1AD例2三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想:用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去
5、，就得到一个(内接多边形的周长组成的）数列.正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割,”这
6、一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做到“无所失矣”.圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列{Pn}得到了曲边形的面积,如果仅停留在有限过程或没完没了的变
7、化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列{Pn}稳定于某个数a（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。一般地,若数列{xn},当n无限增大时,稳定于某个常数a,称数列{xn}收敛,a为数列{xn}的极限.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接
8、近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)将上述实例一般化可得：我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型,也很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中,恰巧有两个“无限”:一个是“自然数n无限增大”;另一个是“xn无限趋近于a”.而这两个“无限”又是数列极限定义
