数学分析 数列极限.doc

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1、数学分析数列极限《数学分析》教案第二章数列极限§1数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子•天下篇》引用一句话“一•尺之楝，日取其半，力古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺）1111,

2、2,3,,,,,,n,,,,,22221或简记作数列：n21分析：1°、n随n增人而减小，且无限接近于常数0；22二、数列极限定义1°将上述实例一•般化可得：宇其形象表示:数形结介方法1例如:a=0；nl)na=3;nn,a不存在，数列不收敛；2-1-为什么强训存在N敎化，即引岀“数列极限"概念《数学分析》教案(1),。不存在，数列不收敛；n2°将“n无限增大时”,数学“符号化”为：“存在N,当n>N时”将“如无限接近畀(l)n例如对3()以n3为极限，对£N,有a,-a<£

3、(为什么？2丽件求N时，乂可视为是给定、-(

4、<2E,ar-a

5、N吋，都有ana<£则称数列a收敛于a,a为它的极限。记作1imana{(或an-*a,(n—))n说明(1)若数列a没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法:limana>0,N,当n（3）上述定义小£的双重性：£>0是任意••的，由“任意性”可知，不等式Q替号也可用“W”号來代替（为什么？）（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于£

6、的自然数，有时记作N二N（£）（这.•并非说明N是£的函数，是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N,就会存在无穷多-2-这是用极限定义证明昨的具体方法双重性（为什么？）思士给£1r任给一：无限接/Hi《数学分析》教案个Nana：(5)如何用肯定的语气叙述limn0>0,尽管N,non。>N,但anoaN£(6)如何用肯定的语气叔述，数列a发散：naR,00(a)>0,N,no,尽管no>N,但onoa1£o。ana(7)limn即aan屮,所有下标大于N的刖,都落在。的£邻城内。的例题.例1.证明lim0(Knk为正实数）证：由于

7、110nknk1所以e>0,取N二，当n>N时，便有1k10kn注：或写作：£>0,取111lim,0nnKnKnk,当n>N吋，有例2.证明limn3n21n243n21212（为简化，限定n3分析，要使232n4n4n只要n12（为什么？）思考这是川极限定义证明怛①M的具体方丫去►Xa-£《数学分析》教案12证.N取9ro适当了先限定n>n。是允许的！但最后取N时要保证n>n。例3・证明1imq=O,这里q0）若00

8、,取N二，当n>N,有qn0n。”等方法。例4.证明limnn1,其中a>l证.令a-l=,则>0由贝努利不等式二（1+）n^l+n=l+n（aa1>0,取N二，当n>N有alnlnln1）或emlWla1n10,若在

9、U（红；）之外数列an屮的项至多只有有限个，则称数列an收敛于极限a。由定义1可知，若存在某0>0,使得数列an中有无穷多个项落在U（a；0）-1-《数学分析》教案之外，贝ljan—定不以3为极限。例5证明n2和（l）n都是发散数列。分析利川定义1证例6设limxnlimyna,作数列｛zn｝如下：nn（zn｝：xl,yl,x2,y2,”，xn,yn,证明limzna。n分析利用定义1证例7设an为给定的数列，bn为对an增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列bn与an同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。分析利用定义1证设an为

10、收敛数列，且liman=a0按定义1,,,,,。n现设an发散，倘若bn收敛，则因an可看成是对bn增加、减少或改变有限项之后得到的数列