数学分析-数列极限.doc

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1、第二章数列极限§1数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺），，，……，，……或简记作数列：分析：1°

2、、随n增大而减小，且无限接近于常数0；数形结合方法2°数轴上描点，将其形象表示：χ10-1将其一般化，即引出“数列极限”概念an无限接近常数a当n无限增大时二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。例如：，a=0；为什么强调存在N，a=3;，a不存在，数列不收敛；，a不存在，数列不收敛；2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当n＞N时”任给—：无限接近将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给ε＞0＜ε例如对以3为极限，对ε=，要使=

3、只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N，使得当n＞N时，都有＜ε则称数列收敛于a，a为它的极限。记作｛(或an→a,(n→))说明（1）若数列没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法：这是用极限定义证明的具体方法（为什么？）思考＞0，N，当n＞N，有＜ε（3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式＜ε，可用＜2ε，＜ε2……来代替“＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）思考双

4、重性（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于ε的自然数，有时记作N=N（ε）（这并非说明N是ε的函数，（为什么？）思考是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多个N（为什么？）思考（5）如何用肯定的语气叙述：＞0，N，n。尽管n。＞N，但≥ε。这是用极限定义证明的具体方法（6）如何用肯定的语气叙述，数列发散：，＞0，N，no,尽管no＞N，但≥εo。（7）的几何意义：χ或aN或ananaNaa+εa-ε即a的任给ε邻城，都存在一个足够大的确定的自然数N，使数列中,所有下标大于N的an,都落在a的ε邻城内。.三、用极限

5、定义证明的例题例1.证明（K为正实数）证：由于所以ε＞0，取N=,当n＞N时,便有注：或写作：ε＞0，取N=，当n＞N时，有，∴例2.证明分析，要使（为简化，限定n只要n证.,当n,有由定义适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。例3．证明=0，这里＜1证.若q=0,结果显然成立若0＜＜1，令=＞0)由于≤＜所以，＞0，取N=＞N，有＜注：1°特别地写当q=时，此即为上述实例中的２°贝努利不等式（１＋h）n≥1+nh.3°由例2、例3看出，在由＜ε中求N时，适当的“放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验

6、、总结。如：用已知不等式，用限定“n＞n。”等方法。例4．证明，其中a＞1证.令-1=，则＞0由贝努利不等式=（1+）n≥1+n=1+n（）或≤＞0，取N=，当n＞N有＜ε思考：这里取N=也可以，为什么？四、等价定义与无穷小数列定义任给＞0，若在U（a;）之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。由定义可知，若存在某0＞0，使得数列中有无穷多个项落在U(a；0)之外，则一定不以a为极限。例5证明和都是发散数列。分析利用定义证例6设，作数列﹛zn﹜如下：﹛zn﹜：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，…。证明。分析利用定义证例7设为给

7、定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。分析利用定义证设为收敛数列，且=a。按定义，……。现设发散，倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，收敛，矛盾。所以当发散时也发散。在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若，则称为无穷小数列。前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：定理2.1数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列。五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然

8、后教师再条理一下)本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：重点1°极限概念的“ε