高精度有限体积格式

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1、第10讲高精度有限体积方法1三十、一维问题2回顾：有限体积方法1：全离散形式把式应用于第j个控制体，有其中将该式沿时间方向在之间积分，有到目前为止，我们没有引入任何近似，所以，积分得到的式子是精确成立的。3定义数值解在单元内的平均值为得到全离散有限体积方法的表达式为其中称为数值通量一维问题有限体积方法的标准形式数值通量为在之间的平均值。标准形式到目前为止，它是精确的。一旦求得数值通量，则我们可以通过计算出下一个时刻因变量在单元上的平均值。也就是说，有限体积方法的解是因变量在单元上的平均值，而不是因变量在某一点上的值。4注意到即为了计算数值通量，我们必须求得之间的。但是，由标

2、准式，已知量只有时刻单元平均值。所以，为了求出，必须解决如下的两个问题：（1）由，求出时刻数值解沿x方向的分布，这一过程称为重构（reconstruction）。（2）由时刻数值解沿x方向的分布，求出之间的以及数值通量这一过程称为演化（evolution）过程。有限体积方法中将在这两个过程中引入各种近似，从而把积分型方程化为代数方程。下面分别讨论这两个过程。5有限体积方法2：半离散形式把式应用于第j个控制体，有引入数值解单元平均值的定义:半离散形式的有限体积格式在有限体积格式的构造过程中，我们将构造对的各种近似算法。的近似值记，也称为数值通量。这样半离散的有限体积格式可以写

3、为下面的标准形式：6重构问题提法给定网格定义单元（控制体）。单元中心和单元大小为定义单元特征尺寸（用来衡量近似程度）已知：函数在单元内的平均值：求：单元内至多k-1次的多项式，使得7问题解法（单元的重构）指定重构精度要求和多项式具体形式给定重构的模板：模板中单元数量=待定参数个数（适用于ENO/WENO重构）模板中单元数量>待定参数个数（适用于最小二乘重构）在模板中的所有单元上，要求k个待定参数方程组：直接求解最小二乘8基于原函数的重构方法定义函数的原函数给定物理量平均值，相当于已知其原函数在控制体界面处的值原函数P(x)由Lagrange插值近似确定9两种等价的模板定义基

4、于平均值的重构基于原函数的重构1011在实际实施过程中，感兴趣的是控制体界面处的左右状态。我们利用计算Shu给出了具体公式如下：一般情况均匀网格12关于重构的进一步说明重构函数在界面的值的计算公式隐含了重构模板重构的基本要求：单元的重构模板必须包含本身某个单元的k阶精度重构（k-1次多项式），有k中不同的模板选择方法，即亦即存在k种重构方案。两个单元如果重构的模板相同，则重构多项式也相同。13关于重构的进一步说明界面上的值可一般的写为：而不必区分从左侧还是从右侧的插值多项式出发进行计算。隐含模板对应唯一插值多项式具体实施：利用计算先确定计算的模板，根据相应的模板得到的即为1

5、4具体公式（均匀网格）15ENO/WENO重构某个单元的k阶精度重构（k-1次多项式），有k中不同的模板选择方法;无论选择哪一个单一模板,当k>1时，数值解在间断附近都会发生数值振荡；ENO/WENO格式根据模板选择的多重特性，引入适当的非线性机制来抑制间断附近的振荡。16ENO重构ENO-EssentiallyNon-Oscillatory基本思路：从k种可能的重构多项式中选取一种最光滑的重构。确定重构多项式=确定重构模板根据某种光滑性指标判断重构多项式的光滑性。具体方案采用均差作为光滑性指标采用递推算法确定重构模板采用Newton插值方法对原函数进行插值17均差及其性质

6、定义性质光滑函数间断函数18重构过程Newton插值多项式模板在上述模板的左或者右侧添加新的节点。19重构过程Newton插值多项式模板20重构过程Newton插值多项式模板21重构过程依次类推知道达到要求的阶数。确定重构模板后，界面处物理量可用计算。Newton插值过程可以省略。22ENO重构算法动态确定重构模板m=1M=2～k23ENO重构的问题如果在解或者其导数为零的地方稍为有一些舍入误差，都有可能导致模板点选取的改变。在光滑区域，这种模板点的自由调整显然是不必要的；且可能产生随机性较强的扰动。在模板点的选取过程中，有k个候选模板点集被考虑到了，共覆盖了2k-1个单元

7、，但是最终只有其中只有一个模板点集被用来形成重构式，从而只达到了k阶精度。如果所有这些2k-1个单元都被用到，那么就可以在光滑区域达到2k-1阶精度。24WENO重构基本思想舍弃ENO只选择一个模板来进行重构的做法，而是将所有候选的模板对应的重构多项式进行加权平均形成最终重构。25WENO重构关键问题-如何确定权！WENO重构涉及两种权函数线性权—最佳权，使界面处重构多项式的值逼近精确值到2k-1阶精度非线性权—由解的光滑性动态计算光滑区保持精度可抑制振荡26最佳权如果函数在所有模板上都光滑，那么存在常数，使得27