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1、中国科学:数学2012年第42卷第9期:951970www.springerlink.commath.scichina.com扩散方程保正的有限体积格式袁光伟,盛志强,岳晶岩∗北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室,北京100088E-mail:yuanguangwei@iapcm.ac.cn,shengzhiqiang@iapcm.ac.cn,yuejingyan@iapcm.ac.cn收稿日期:2011-12-27;接受日期:2012-06-07;*通信作者国家自然科学基金(批准号:11171036)、国防基础科研项目(批准号:B1520110011)和中国工程物
2、理研究所科学技术发展基金(批准号:2010A0202010)资助项目摘要在大变形网格上数值求解多介质扩散方程时,如何构造具有保正性的扩散格式一直是人们关注的难题.本文将简要综述与保正性相关的扩散格式的研究历史,并为解决这一难题提出新的设计途径,构造出新的具有较高精度的单元中心型守恒保正格式,它们可兼顾网格几何变形和物理量变化.本文将给出数值实验结果,验证新格式在变形的网格上保持非负性.关键词扩散方程中心型有限体积格式保正性MSC(2010)主题分类65M06,65M12,65M551引言1.1研究背景许多实际的物理系统中包含各种物理量的扩散过程,例如在受控约束核聚变、油藏模
3、拟、气象预报和天体物理等应用领域中,需考虑能量传输过程或物质质量扩散过程等.描述这些物理过程的偏微分方程是非线性扩散方程,比如聚变物理研究中的电子、离子、光子(三温)热传导方程组,多群辐射扩散方程组,以及磁扩散方程等.对于扩散方程定解问题,一个重要特性是具有所谓的极值原理,它包括最大值原理和最小值原理.扩散方程的解保持非负性(简称为保正性)是指“如果已知数据非负且内部没有汇,那么解非负”,即扩散算子具有单调性,这是最小值原理的一个特殊情形.其物理意义十分明确,例如,对能量传输问题温度非负,对于质量扩散问题密度非负,对于多相流问题介质浓度非负.对于线性扩散问题,极值原理等价于
4、保正性.由于扩散方程定解问题的解满足极值原理这一特性,所以,在离散情形希望它仍然保持成立,即离散格式的解满足离散极值原理,以保证离散解不出现非物理的数值现象.当离散格式的解具有保正性时,通常称这样的格式为保正格式或单调格式,亦称格式具有保正性或单调性(参见[1,2]).如果所讨论的离散格式是非线性的,那么,离散最大值原理和离散最小值原理不等价(无论扩散问题是线性的还是非线性的).要求一个格式满足离散极值原理比仅仅要求其保持非负性要严格,限制性更强,从而相应的格式设计更难.我们讨论的扩散问题不仅是非线性的,还是多介质的,密度比往往很大.在实际应用领域,扩散过程往往与其它物理过
5、程强耦合,多介质辐射流体力学问题是一个典型的辐射扩散与流体力学耦合的问题,其数值模拟包括扩散方程的计算与流体力学方程的计算,且它们的英文引用格式:YuanGW,ShengZQ,YueJY.Thefinitevolumeschemepreservingthepositivityfordiffusionequation(inChinese).SciSinMath,2012,42(9):951–970,doi:10.1360/012011-1041袁光伟等:扩散方程保正的有限体积格式计算是耦合进行的.对于多介质辐射流体力学Lagrange方法,计算网格随流体运动,流体出现大变形时导致
6、网格大变形,此时需在变形的Lagrange网格上求解辐射扩散方程,这对格式的健壮性提出了很大的挑战.总之,在大变形网格上,针对具有间断系数或各向异性张量系数的扩散方程,要求设计出一个格式既保持非负性(或满足离散极值原理)、又保持局部守恒性,难度较大.已有的研究表明,一个违反极值原理或保正性的离散格式至少会导致如下三个问题[3]:(1)具有大时间步长的全隐离散格式的精度较差.(2)未知量(例如温度)的数值解出现虚假的负值,往往在低温区导致温度出现负值;在实际计算中,未知量(例如温度)的数值解一旦出现负值,如果不做处理,那么整个计算立即中断;这是因为实际应用中许多扩散问题是非线
7、性的,其扩散系数是未知量的非线性函数,该函数仅仅对非负的物理量才有定义.另外,在辐射流体力学的热传导计算中出现负的温度时,会使声速变为虚数,同样导致计算无法进行下去.如果对出负的值进行处理,而处理不合理的话,那么计算精度通常会降低.目前,实际应用中通常采取诸如“遇负置零”的人为处理方式,即将负的温度替换成初始温度,使得程序能继续计算下去.这种简单的非负性修正方法对于保证计算不中断是有效的,但显然其结果是破坏解的守恒性,对于长时间计算,会损失离散解的精度,导致计算所得的物理图像偏离真实情况.(3)即使在不出现计算出负
